特殊相対論 運動方程式

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運動方程式

SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。 そのため、ある3次元のベクトルを取ったとき それと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを 作ることが出来る。 $ds^{2}$がスカラーであることから $x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$ のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。 さらに、 固有時間 $ds^{2}=dt^{2}{\sqrt {1-v^{2}}}$ を導入すると、この量はスカラーになる。

このとき、 運動方程式は、 ある力$f^{\mu }$を想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) ${\frac {d{p^{\mu }}}{d{s}}}=f^{\mu }$ と書かれる。 これは、運動方程式が ローレンツ変換に対してよい性質を もっていなくてはいけないという 要請から来ている。 ニュートンの方程式 ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {f}}$ も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、 上の式はそれの拡張と考えることが出来る。