高等学校数学III/積分法/演習問題

第１問

次の不定積分を計算せよ。

(1) $\int \left({{\frac {1}{3}}x^{3}-3x^{2}+1}\right)dx$

(2) $\int {\frac {x+5}{x^{4}+10x^{3}-9x^{2}-250x-400}}dx$

(3) $\int {\sin {2x}\cos {3x}}dx$

(4) $\int {\tan {x^{\circ }}}dx$

(5) $\int {\log {\sqrt {x}}}dx$

(6) $\int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx$

(7) $\int {\frac {2}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx$

(8) $\int {x\cdot 2^{x}}dx$

第２問

次の定積分を計算せよ。

(1) $\int _{4}^{9}{(x^{2}-13x+36)}dx$

(2) $\int _{0}^{1}{x^{3}{\sqrt {4-3x^{2}}}}dx$

(3) $\int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}dx$

(4) $\int _{0}^{2\pi }{3\cos ^{2}{2x}}dx$

第３問

水でいっぱいの半径$r$の球状の容器の最下端に小さな孔を開ける。水が流れ始めた時刻を$0$とし、時刻$0$から時刻$t$までにこの孔を通って流出した水の量を$f(t)$、時刻$t$における孔から水面までの高さを$y$とすれば、$y$と$f(t)$の関係は正の定数$a$を用いて${\cfrac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}=a{\sqrt {y}}$と書けるという。

(1) 水面の降下する速さが最小となるのは、$y$がどのような値をとる時か。

(2) 水が流れ始めてから$y$が(1)で求めた値となるまでに要する時間を求めよ。

第４問　

ある惑星から鉛直に初速$v_{0}$で打ち上げられた宇宙船がある。惑星の半径を$R$、惑星表面での重力加速度を$g$とする。また、宇宙船には惑星の中心からの距離の平方に反比例する引力(比例定数$G$)が働いている。

(1) 惑星の中心からの距離が$r$の場所に宇宙船があるとき、宇宙船の速度$v$は以下の式を満たすことを証明せよ。

$v^{2}={\frac {2gR^{2}}{r}}+{v_{0}}^{2}-2gR$

(2) (1)の関係式を用いて、宇宙船が再び惑星に戻ってこないようにするための初速$v_{0}$の条件を述べよ。

解答

第１問

積分定数をCとする。

(1) $\int \left({{\frac {1}{3}}x^{3}-3x^{2}+1}\right)dx={\frac {1}{12}}x^{4}-x^{3}+x+C$

(2) $\int {\frac {x+5}{x^{4}+10x^{3}-9x^{2}-250x-400}}dx=\int {\frac {1}{(x+2)(x-5)(x+8)}}dx=\int {{\frac {1}{546}}\left(-{\frac {13}{x+2}}+{\frac {6}{x-5}}+{\frac {7}{x+8}}\right)}dx={\frac {1}{546}}\left(-13\log |x+2|+6\log |x-5|+7\log |x+8|\right)+C$

(3) $\int {\sin {2x}\cos {3x}}dx=\int {{\frac {1}{2}}\left(\sin {5x}-\sin {x}\right)}dx={\frac {1}{10}}\left(5\cos {x}-\cos {5x}\right)+C$

(4) $\int {\tan {x^{\circ }}}dx=\int {\tan {\frac {\pi x}{180}}}dx=-{\frac {180}{\pi }}\log \left|\cos {\frac {\pi x}{180}}\right|+C$

(5) $\int {\log {\sqrt {x}}}dx=\int {{\frac {1}{2}}\log {x}}dx={\frac {1}{2}}(x\log x-x)+C$

(6) $t=1+x^{2}$と置換すると$dt=2xdx$なので、

$\int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{t}}={\frac {1}{2}}\log \left|t\right|+C={\frac {1}{2}}\log(1+x^{2})+C$

(7) $t=x+{\sqrt {1+x^{2}}}$と置換すると$dt={\frac {t}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx$なので、

$\int {\frac {2}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx=\int {\frac {2}{t}}dt=2\log |t|+C=2\log(x+{\sqrt {1+x^{2}}})+C$

(8) $\int {x\cdot 2^{x}}dx={\frac {x\cdot 2^{x}}{\log {2}}}-\int {\frac {2^{x}}{\log {2}}}dx={\frac {x\cdot 2^{x}}{\log {2}}}-{\frac {2^{x}}{(\log {2})^{2}}}+C={\frac {2^{x}(x\log {2}-1)}{(\log {2})^{2}}}+C$

第２問

(1) $\int _{4}^{9}{(x^{2}-13x+36)}dx={\frac {(9-4)^{3}}{6}}={\frac {125}{6}}$

(2) $t={\sqrt {4-3x^{2}}}$と置換すると$dt={\frac {-3x}{t}}dx$なので、

$\int _{0}^{1}{x^{3}{\sqrt {4-3x^{2}}}}dx=\int _{1}^{2}{{\frac {1}{9}}(-t^{4}+4t^{2})}dt={\frac {1}{135}}[-3t^{5}+20t^{3}]_{1}^{2}={\frac {47}{135}}$

(3) $t={\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}$と置換すると$4t(t^{2}-1)dt=dx$なので、

$\int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}dx=\int _{\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}4(t^{4}-t^{2})dt={\frac {4}{15}}[3t^{5}-5t^{3}]_{\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}={\frac {8(6{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}{15}}$

(4) $\int _{0}^{2\pi }{3\cos ^{2}{2x}}dx=\int _{0}^{2\pi }{\frac {3}{2}}(1+\cos {4x})dx={\frac {3}{8}}[4x+\sin {4x}]_{0}^{2\pi }=3\pi$

第３問

(1) 水面の高さが$y$のとき、水面は面積$\pi (2ry-y^{2})$の円なので、${\frac {df}{dy}}=\pi (y^{2}-2ry)$である。 よって、合成関数の微分公式${\frac {df}{dt}}={\frac {df}{dy}}{\frac {dy}{dt}}$より

${\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {df}{dt}}{\frac {df}{dy}}}={\frac {a{\sqrt {y}}}{\pi (y^{2}-2ry)}}$

である。$y$は時間とともに減少することに注意すると、水面が降下する速さは

$v=-{\frac {dy}{dt}}={\frac {a{\sqrt {y}}}{\pi (2ry-y^{2})}}$

である。これが最小になるような$y$を求めればよい。$y$で微分すると

${\frac {dv}{dy}}={\frac {a{\sqrt {y}}(3y-2r)}{2\pi (2ry-y^{2})^{2}}}$

なので、$v$が最小になるのは$y={\frac {2r}{3}}$のときである。

(2) 逆関数の微分公式より

${\frac {dt}{dy}}={\frac {\pi (y^{2}-2ry)}{a{\sqrt {y}}}}={\frac {\pi (y{\sqrt {y}}-2r{\sqrt {y}})}{a}}$

なので、求める時刻は

$\int _{2r}^{\frac {2r}{3}}{\frac {\pi (y{\sqrt {y}}-2r{\sqrt {y}})}{a}}dy={\frac {2\pi }{15a}}[y{\sqrt {y}}(3y-10r)]_{2r}^{\frac {2r}{3}}={\frac {16r^{2}{\sqrt {2r}}\pi (9-2{\sqrt {3}})}{135a}}$

である。

第４問

(1) $GR^{-2}=mg$より、$G=mgR^{2}$である。よって、惑星表面から、中心からの距離がrの場所まで移動する際、宇宙船が惑星の引力から受ける仕事は

$\int _{R}^{r}Gx^{-2}dx=\int _{R}^{r}mgR^{2}x^{-2}dx=[-mgR^{2}x^{-1}]_{r}^{R}=mg\left({\frac {R^{2}}{r}}-R\right)$

である。よって力学的エネルギー保存則より

${\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+mg\left({\frac {R^{2}}{r}}-R\right)$

なので、整理して

$v^{2}={\frac {2gR^{2}}{r}}+{v_{0}}^{2}-2gR$

を得る。

(2) 任意のrに対して$v^{2}>0$であればよい。$v^{2}$はrについて単調減少なので、

$\lim _{r\to \infty }v^{2}=v_{0}^{2}-2gR\geq 0$

であればよい。すなわち、

$v_{0}\geq {\sqrt {2gR}}$

であればよい。