高等学校物理/単振動

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本節では、単振動について学びます。高等学校の数学三角比、三角関数の基礎知識を使わないと理解が困難です。

そこで、最初に数学Ⅰの三角比について簡単に復習してから、本題に入ります。

三角比の利用

直角三角形では次の性質もいえます。

$\sin \theta ={\frac {BC}{AB}}$

整理して

$BC=AB\sin \theta$

$\cos \theta ={\frac {AC}{AB}}$ 　

整理して

$AC=AB\cos \theta$

単振動とは

図の白→のように物体が動いていて、球体中の動く軌跡を平面化します。経済学部で習う無差別曲線の導出イメージを例に考えました。

　等速円運動をしている物体を真横から見たら、どのように見えるでしょうか。

小中学校で習った球体を例にして、その中を物体が回っているとしましょう。（白矢印部分）

復習になりますが、等速円運動は平面上の周期運動なので、球体の周りの部分（白矢印部分）を真横から見ると直線上を縦に往復運動しているように見えます。この往復運動を単振動といいます。

　ここで、回転数と周期は等速円運動の説明と全く変わりません。

　さらに等速円運動の角速度は、角振動数と名前を変更しているだけに過ぎません。

単振動の位置・速さ・加速度

円運動の式と図が書ければ式を導けます。これを何回か繰り返すと「単振動の位置・速さ・加速度」は覚えられます。

位置は横・縦とありますが、ここでは縦を見ていますから、サインの内容になります。したがって、位置に等速円運動の角速度の説明を回転角に直した式に直し、 $BC=AB\sin \theta$ に代入するだけで公式が完成します。

　速さは普通横に進みますので、コサインの内容になります。したがって、速さに等速円運動の角速度の説明を回転角に直した式に直し、 $AC=AB\cos \theta$ に代入するだけで公式が完成します。

最後に、単振動の加速度ですが、等速円運動の加速度の式に、 $BC=AB\sin \theta$ を代入します。しかし、これでは、位置と加速度が反対の向きになってしまいます。そこでこれを避けるため、マイナスの符号を前に付けます。

★公式

x=A\sin \omega \ t

v=A\omega \cos \omega t

a=-A\omega ^{2}\sin \omega t

a=-\omega ^{2}x

★証明１

図形を使って証明します。

単振動の初期位相

　等速円運動の１回転の回転角は、360度です。単振動では、位置が異なるごとに等しい振動状態を繰り返すので、よく位置は０～360度間の角で表されます。最初に基準とした位置を初期位相（初期位置）といいます。なお、単振動の初期位相（初期位置）は、０ではない場合もあります。その場合、単振動の位置に関する式に初期位相（初期位置）を加えると、求められます。

★公式

$x=A\sin(\omega \ t+\theta _{0})$

★証明

復元力と周期

★証明

T={\frac {2\pi }{\omega }}

ばね振り子

★公式

$T={2\pi }{\sqrt {\frac {m}{k}}}$

単振り子

★公式

$T={2\pi }{\sqrt {\frac {l}{g}}}$

単振動のエネルギー

資料出所

『改訂　物理』、東京書籍、2020年(2017年検定)
『物理　改訂版』、新興出版社啓林館、2020年(2017年検定)
『高等学校改訂　物理』、第一学習社、2020年(2018年検定)
『高校の物理が1冊で丸ごとわかる』小川慎一郎著　2022年ベレ出版
『東京大学の先生伝授文系のためのめっちゃやさしい物理』松尾泰著　2021年ニュートンプレス
『始まりから知ると面白い物理学の授業』左巻健男著　2020年　山と渓谷社
『チャート式シリーズ新課程　新物理物理基礎・物理』都築嘉弘ほか著　2023年　数研出版

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