数理論理学/述語論理

量化記号

量化記号を使うと、命題を簡潔に表すことができる。 量化記号の種類とそれぞれの意味は以下の通りである。

論理記号

記号	意味	使用例	意味
$\forall$	「任意の」または「すべての」	$\forall x\in \mathbb {R} ,x^{2}-4x+4>0$	すべての実数$x$に対して$x^{2}-4x+4>0$が成り立つ。ちなみにこの命題は偽である。
$\exists$	存在する	$\exists x\in \mathbb {R} ,x^{2}-2x+1=0$	$x^{2}-2x+1=0$を満たす実数$x$が存在する。ちなみにこの命題は真である。
$\exists _{1}$	ただ一つ存在する	$\exists _{1}x\in \mathbb {R} ,x^{2}-6x+9=0$	$x^{2}-6x+9=0$を満たす実数$x$がただ一つ存在する。ちなみにこの命題は真である。
$\nexists$	存在しない	$\nexists x\in \mathbb {R} ,x^{2}+2x+2=0$	$x^{2}+2x+2=0$を満たす実数$x$は存在しない。ちなみにこの命題は真である。

演習問題

以下の命題の真偽を確かめよ。

(1) $\forall m,n\in \mathbb {N} ,m^{2}-mn+n^{2}\geq m+n$

(2)$\nexists x\in \mathbb {Q} ,x^{3}-3x-1=0$

量化記号は組み合わせて使うことができる。

例 $\exists x\in \mathbb {R} ,\forall y\in \mathbb {R} ,xy=0$

この命題は、すべての実数$y$について$xy=0$となる実数$x$が存在する。という意味である。

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