ガロア理論/Galois拡大

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定義(ガロア群)

体の拡大 に対して、体 上の自己同型群を と書いて、ガロア群 という。

定義

体の拡大 の部分群 に対して、その不変体を とする。不変体は の中間体であることに注意。

命題1[編集]

体の代数拡大 に対して以下は同値。

(i) は分離かつ正規拡大である
(ii)
(iii) のある部分群 となるものが存在する
さらに、有限次拡大であれば以下も同値である:
(iv)

証明

(i) ⇒ (ii):
は自明。逆の包含を示す。 を取り、最小多項式を とする。 の次数を とする。ガロア理論/正規拡大#命題1(iii) によって、 が存在して となる。分離性によって、 である。 上の体の同型 を、ガロア理論/代数的閉体#定理2 によって、ある代数閉包 の自己同型 に延長する。このとき、ガロア理論/正規拡大#命題1(ii) によって、 である。 だから、 である。

(ii) ⇒ (iii):
自明。

(iii) ⇒ (i):
の最小多項式を とする。 に対し だから、 の取りうる値は有限個である。 の正規部分群であり、 に対して は、 の取り方によらない。また、この対応は単射だから は有限群であり、行き先は の根全体の集合である。…(*)
は、各 によって係数が不変である。実際、 たちの置換を引き起こすからである。すなわち、係数は に属するから、 であり、(*)によりこれは の次数以下である。したがって、 である。このことから、 は分離的であり、かつ で一次の積に分解されることがわかった。つまり、分離かつ正規拡大である。


最後に、 が有限次拡大であるとしよう。ガロア理論/分離拡大#命題_1ガロア理論/正規拡大#命題1 をあわせると、分離かつ正規拡大であることと、 が同値であることがただちにしたがう。実際、分離性は、 の等号が成立することで、正規性は の等号が成立することを指しているからである。


定義[編集]

上の命題の条件を満たす体の拡大を、Galois 拡大という。

  • は Galois 拡大である。
  • は Galois 拡大ではない。なぜなら、 の残り二つの共役元を含まず、正規拡大でないからである。 である。