初等数学公式集/微積分/証明

積分

基本的な積分の考え方

• $f(x)=f(-x)$（$f(x)$は偶関数）ならば、

  　

  $\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}f(x)dx$　⬇️

代表的な関数の積分公式

複合的な積分

複合的な三角関数の積分

• $\int \sin ^{2}xdx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$　⬇️

  　

• $\int \cos ^{2}xdx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C$　⬇️

  　

• $\int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$　⬇️

  　

• $\int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$　⬇️

  　

• $\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\log |\tan x|+C$　⬇️

  　

• $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos {x}}}+C$　⬇️

  　

  • $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C$　⬇️

  　

• $\int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\pm {\frac {1}{\sin {x}}}+C$ ⬇️

  　

  • $\int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\tan {\frac {x}{2}}+C$ ⬇️

  　

  • $\int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C$ ⬇️

　

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• $\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}f(x)dx$

  　

  左辺の積分範囲を分割、

  $\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx$

  　

  第1項と第2項の積分範囲を揃えるため、第1項を$t=-x$ / $dt=-dx$（積分区間$[-a,0]$⇒$[a,0]$）で置換、

  $\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=-\int _{a}^{0}{\frac {f(-t)}{1+p^{-t}}}dt+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}{\frac {f(-t)}{1+p^{-t}}}dt+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx$

  　

  第1項において$f(-t)=f(t)$（∵偶関数）、また、第2項と分母を揃えるため、分母・分子に$p^{t}$をかける、

  $\int _{0}^{a}{\frac {f(-t)}{1+p^{-t}}}dt+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}{\frac {p^{t}f(t)}{1+p^{t}}}dt+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx$

  　

  第1項と第2項は、積分範囲は一致しており、置換の変数記号は便宜上のものなので、

  $\int _{0}^{a}{\frac {p^{t}f(t)}{1+p^{t}}}dt+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}\left({\frac {p^{x}f(x)}{1+p^{x}}}+{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{a}{\frac {(1+p^{x})f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}f(x)dx$

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• $\int \sin ^{2}xdx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$

  倍角（半角）公式より、$\sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}$

  $\int \sin ^{2}xdx=\int \left({\frac {1-\cos 2x}{2}}\right)dx={\frac {1}{2}}\left(\int dx-\int \cos 2xdx\right)={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}+C\right)={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$

  　

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• $\int \cos ^{2}xdx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C$

  倍角（半角）公式より、$\cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}$

  $\int \cos ^{2}xdx=\int \left({\frac {1+\cos 2x}{2}}\right)dx={\frac {1}{2}}\left(\int dx+\int \cos 2xdx\right)={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}+C\right)={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C$

  　

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• $\int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$

  　

  • （解法1）$\int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C$

    　

    $\int {\frac {1}{\sin x}}dx=\int {\frac {\sin x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {\sin x}{1-\cos ^{2}x}}dx$

    　

    $\cos x=t$とおいて、置換積分を行う。

    　

    微分して、$dt=-\sin xdx$、

    　

    $\int {\frac {\sin x}{1-\cos ^{2}x}}dx=-\int {\frac {1}{1-t^{2}}}dt=-\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt$

    　

    部分分数に分解して、

    　

    $-\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt=-{\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt=-{\frac {1}{2}}\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\left(\log {|1-t|}-\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1-t}{1+t}}\right|+C$

    　

    $t=\cos x$を戻す。この時、$-1\leq \cos x\leq 1$であり、${\frac {1-t}{1+t}}$は正であるので、絶対値は外せる。

    　

    ${\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1-t}{1+t}}\right|+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C$

    　

  • （解法2:$\tan {\frac {x}{2}}$を用いて求める方法）

    　

    $\tan {\frac {x}{2}}$が使えるよう、${\frac {x}{2}}$の形にそろえる。

    　

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$を微分すると、${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{2}}(1+t^{2})$

    したがって、$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt$。

    　

    各々、$\int {\frac {1}{\sin x}}dx$に代入して、$\int {\frac {1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{t}}dt=\log |t|+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$

  　

---

　

• $\int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$

  　

  • （解法1）$\int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$

    　

    $\int {\frac {1}{\cos x}}dx=\int {\frac {\cos x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}dx$

    　

    $\sin x=t$とおいて、置換積分を行う。

    　

    微分して、$dt=\cos xdx$、

    　

    $\int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}dx=-\int {\frac {1}{1-t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt$

    　

    部分分数に分解して、

    　

    $\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt={\frac {1}{2}}\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C$

    　

    $t=\sin x$を戻す。この時、$-1\leq \sin x\leq 1$であり、${\frac {1-t}{1+t}}$は正であるので、絶対値は外せる。

    　

    ${\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$

    　

  • （解法2:$\tan {\frac {x}{2}}$を用いて求める方法）

    　

    $\tan {\frac {x}{2}}$が使えるよう、${\frac {x}{2}}$の形にそろえる。

    　

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\cos x{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$を微分すると、${\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{2}}(1+t^{2})$。したがって、$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt$。（導出は上記参照）

    　

    各々、$\int {\frac {1}{\cos x}}dx$に代入して、$\int {\frac {1}{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{1-t^{2}}}dt$

    部分分数に分解して、$\int {\frac {2}{1-t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{(1-t)(1+t)}}dt=\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt=\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C=\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C$

    　

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$を戻して、

    $\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C=\log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C$

    　

    以下、式変形のバリエーション。

    $\log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C=\log \left|{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}\right|+C$

    　

    分母・分子に$\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}$をかけると、

    分母$=\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=\cos x$、分子$=\left(\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}\right)^{2}=\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1+\sin x$

    　

    $\log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C=\log \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|+C=\log {\frac {1+\sin x}{|\cos x|}}+C$

    　

    $|\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$であるから、

    　

    $\log {\frac {1+\sin x}{|\cos x|}}+C=\log {\frac {1+\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}+C=\log {\frac {({\sqrt {1+\sin x}})^{2}}{{\sqrt {1-\sin x}}{\sqrt {1+\sin x}}}}+C=\log {\sqrt {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}}+C=\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)^{\frac {1}{2}}+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$

　

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• $\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\log |\tan x|+C$

  　

  $\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\int {\frac {\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin x\cos x}}dx=\int \left({\frac {\sin x}{\cos x}}+{\frac {\cos x}{\sin x}}\right)dx=-\int {\frac {(\cos x)'}{\cos x}}dx+\int {\frac {(\sin x)'}{\sin x}}dx=-\log |\cos x|+\log |\sin x|+C=\log |\tan x|+C$

  　

  （別解）

  倍角の公式:$\sin x\cos x={\frac {\sin 2x}{2}}$より、

  　

  $\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\int {\frac {2}{\sin 2x}}dx$

  　

  公式:$\int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$の$x$に$2x$を当てはめ、

  　

  $\int {\frac {2}{\sin 2x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left|\tan x\right|+C$

---

　

• $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos {x}}}+C$

  　

  • （解法1）

    　

    $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx$の分母の項を減らすため、分母・分子に$1\mp \sin x$をかける。

    　

    $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{(1\pm \sin x)(1\mp \sin x)}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{1-\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx$

    　

    $\int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx$ について、$t=\cos x$ / $dt=-\sin xdx$で置換して、$\int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{t^{2}}}(-dt)={\frac {1}{t}}+C={\frac {1}{\cos x}}+C$

    　

    したがって、$\tan x\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos x}}+C$

  　

  • （解法2）$\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C$

    　

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$、$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt$ ^⬆️

    　

    $\int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\int {\frac {1}{1\pm {\frac {2t}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}\pm 2t}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{(1\pm t)^{2}}}dt=\left(-{\frac {2}{1\pm t}}\right)+C=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C$

　

---

　

• $\int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\pm {\frac {1}{\sin {x}}}+C$

  　

  • （解法1）

    　

    $\int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx$の分母の項を減らすため、分母・分子に$1\mp \cos x$をかける。

    　

    $\int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{(1\pm \cos x)(1\mp \cos x)}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{1-\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}dx\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx$

    　

    $\int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx$ について、$t=\sin x$ / $dt=\cos xdx$で置換して、$\int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{t^{2}}}dt=-{\frac {1}{t}}+C=-{\frac {1}{\sin x}}+C$

    　

    したがって、$\tan x\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\tan x\pm {\frac {1}{\sin x}}+C$

    　

  • （解法2）

    　

    $t=\tan {\frac {x}{2}}$とおくと、半角の公式（拡張）を使って、$\cos x{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$、$dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt$ ^⬆️

    　

    • $\int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\tan {\frac {x}{2}}+C$

      　

      $\int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\int {\frac {1}{1+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int dt=t+C=\tan {\frac {x}{2}}+C$

      　

    • $\int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C$

      　

      $\int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=\int {\frac {1}{1-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}-1+t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {2t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{t^{2}}}dx=-{\frac {1}{t}}+C=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C$