初等数学公式集/微積分

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

関数の極限[編集]

  • , のとき、
  1. ただし、 は定数。
  2.  (複号同順)。
  3. ただし、
  • のある近傍で定義された関数, , があり、この近傍内の任意の に対して、 かつ ならば、 は収束し、
  • (→証明
  • (→証明
  •  ( は正定数)。
  •  
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ウィキペディアロピタルの定理の記事があります。
  • (参考)ロピタルの定理
     
    (条件)
    • を含むある区間があり、関数はその内部で微分可能である。
    • かつその値がまたはである。
    • 極限 が存在する。
    • におけるの除外近傍において が成り立つ。
     
    ※利用における注意
    ロピタルの定理自体は簡易な形状をしており、また、多くの学習参考書などでも取り上げられるなど、比較的有名なものである。しかしながら、本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本的に皆無であるので(『学習指導要領』範囲外)、そのような問題においては、利用しないことが無難であり、あくまでも検算用と考えた方がいい(ウィキペディア『ロピタルの定理』中の記事「日本の高校数学・大学入試での扱い」参照)。
    大学入試等において、この形式の問題は、関数が共通因数を持っており、それを約分することにより極限値を得るという解法を期待するものが多い。

微分[編集]

導関数の定義

関数に対して、(変数で微分する)。
  • ; で微分する。
  • 第2次導関数
    関数を微分して得た導関数をさらに微分して得た関数を、の第2次導関数という。
    • 第2次導関数の表記法:, , ,
  • 次導関数
    関数を微分した結果をさらに微分する操作を回行って得た関数を、の第次導関数という。
    • 次導関数の表記法:, , ,

変数 の微分可能な関数 , に対して

  •  
  •  (ライプニッツ則 →証明
     
  •  (商の微分公式 →証明
     
    特に、のとき、
     
  •  (合成関数の微分公式 →証明
     
    別の表現で  (チェインルール)
     
  •  (逆関数の微分公式 →証明
    とおくと、 とも表せる。
  • 媒介変数による微分  ならば

基本的な関数の微分公式[編集]

  • [微分公式1] (は実数) (→証明
  • [微分公式2]  (→証明
    従って、[微分公式2-1] (ただし、)
  • [微分公式3]  (→証明
    • [微分公式3-1] (ただし、)
    • [微分公式3-2]
  • 三角関数の微分公式 (→証明
    • [微分公式4]
    • [微分公式5]
    • [微分公式6]

接線の方程式等[編集]

  • 曲線上の点において、に接する直線の傾きは、である。
    したがって、曲線上の点における接線の方程式は、
  • 曲線上の点において接線と直行する直線(法線)の傾きである(∵直交する2直線の傾きの積は-1)。
    したがって、曲線上の点における法線の方程式は、
  • ニュートン法
    ニュートン法のイメージ
    曲線上のある点における接線と軸の交点(切片、)の値は、の解であるに、よりも近似することが期待されるという性質を用い、この操作を反復することで方程式を数値計算によって解く方法。
    1. 曲線上に適当に点をおき、とする。
    2. における接線;を求める。
    3. として、直線との切片を求める。
    4. [アルゴリズム終了の条件]
      • (所定の極めて小さい数値)となった時、の近似解とする。
      • である時、として、上記2の操作に戻る。

関数の増減[編集]

  • ある関数を、その導関数をとしたとき、
    • である時、この式を満たすにおいて、は増加する。
    • である時、この式を満たすにおいて、は減少する。
  • 方程式が実数解を持つ時(ただし、各々の解に重複はないものとする)、において、正負が変わるため、その点で関数の増減が入れ替わる。この点を変曲点といい、増加から減少に転じる点を極大、減少から増加に転じる点を極小という。
    高次多項式関数の増減と区間における最大最小
    最高次の項の係数をとする次の高次多項式関数、その導関数を、かつ方程式各々重複のない個の実数解とした時、以下の性質を持つ。
    • なお、以下において、説明簡素化等のため、特に言及のない場合、条件等を以下のとおりとする。
      1. 方程式の実数解に対する、関数の値として、の中で最大・最小のものを各々とする。
      2. は、を満たす実数である。
    1. ならば、
      1. が奇数である時、関数まで単調に増加し、以後、まで増減し、を超えると再び単調に増加する。
        • 区間において、の最大値は、またはのいずれか大きい方であり、最小値はまたはのいずれか小さい方である。
      2. が偶数である時、関数まで単調に減少し、以後、まで増減し、を超えると単調に増加する(グラフは「上に開く」)。
        • 区間において、の最大値は、,またはの最も大きいものであり、最小値はである。
    2. ならば、
      1. が奇数である時、関数まで単調に減少し、以後、まで増減し、を超えると再び単調に減少する。
        • 区間において、の最大値は、またはのいずれか大きい方であり、最小値はまたはのいずれか小さい方である。
      2. が偶数である時、関数まで単調に増加し、以後、まで増減し、を超えると単調に減少する(グラフは「下に開く」)。
        • 区間において、の最大値は、であり、最小値は,またはの最も小さいものである。
    3次関数の増減と区間における最大最小
    ()に対して、
    • ここで、が実数解を持たない場合及び重解を持つ場合(判別式)、は、単調に増加する。
    • が異なる2つの実数解を持つ場合(判別式)、の解を各々(但し、)とすると、の変曲点はとなり、まで増加したのち減少に転じまで、減少した後、再び増加に転じる。この時、を極大値、を極小値という。
    • である区間において、の最大値は、またはのいずれか大きい方であり、最小値はまたはのいずれか小さい方である。
※解に重複がある場合
  • 方程式の実数解において、隣接する2個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転せず、従って、元の関数の増減の傾向も変わらない。隣接する3個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転し、従って、元の関数の増減が逆転する。一般化すると、方程式の実数解において、隣接する偶数個の解が一致する場合、元の関数の増減の傾向は変わらない。隣接する奇数個の解が一致する場合、元の関数の増減はその点で逆転する。

陰関数の微分[編集]

が関数の関係にある時、の形の表示を陽関数(表示)、の形の表示を陰関数(表示)という。なお、のように変数の数が3個以上のものがあるが、初等数学の範囲を超えるので、本公式集では言及しない。

例. 双曲線
陽関数表示: 、陰関数表示:

陰関数において、 で微分する、すなわち、を求める手順は以下のとおり。

  1. の各項を、①変数がのみである関数の項、②変数がのみである関数の項、③の関数との関数の積である項に分ける。
  2. ①変数がのみである関数の項については、そのままで微分してを求める。
  3. ②変数がのみである関数の項については、として、を求める。
  4. の関数との関数の積である項については、を微分してとし、を上記3の方法で求める。
  5. 上記2~4で求めたものにつき、でまとめる。

対数微分法[編集]

両辺の対数を取ってから微分する方法。
  • 式の乗(除)算を加(減)算に、累乗を乗算に還元して微分計算することができる。
(手順)
  1. 両辺の対数を取る。
    • この時、両辺が正でなければならないので、正と限らないときはないときは絶対値を取る。
  2. 両辺をで微分する。
    • この時、の微分がになること(微分公式3-2)を利用する。
  3. について解いての式で表す。
(利用局面)
  1. 指数の底にも肩にも変数が含まれているのような関数。
    例題: の微分
    1. について、両辺対数を取る。なおであるので右辺左辺ともに正であり、絶対値を顧慮する必要はない。
    2. 両辺をで微分する。
    3. を両辺にかける。
  2. のように微分したい関数が,たくさんの関数の積になっているとき。
    例題1: ただし、微分区間では、 ともに正とする。
    1. について、両辺対数を取る。
    2. 両辺をで微分する。
    3. を両辺にかける。
     
    例題2: ただし、微分区間では、 ともに正とする。
    1. について、両辺対数を取る。
    2. 両辺をで微分する。
    3. を両辺にかける。
      商の微分に一致)

積分[編集]


  • 置換積分
    ただし、 のとき、それぞれ


  • 部分積分
    ただし、 と略記。
    別の表現:


  •  (コーシー・シュワルツの不等式)


  • King Property (King's Property とも)
     
     
    特に、 
     
    利用局面1
    より、
     
    とすると、積分計算が容易になる場合がある。
     
    利用局面2
    の形の式で三角関数が登場する時、
    の形で、補角の公式等)や余角の公式等)を利用できる場合がある。

基本的な関数の積分公式[編集]

  • [積分公式1] (は実数かつ)
  • [積分公式2]
    従って、[積分公式2-1] (ただし、)
  • [積分公式3]
    • [積分公式3-1]
     
  • [積分公式4]
     
  • 三角関数の積分 (→証明
    • [積分公式5]
    • [積分公式6]
    • [積分公式7]
    • [積分公式8]
    • [積分公式9]

曲線で囲まれる領域の面積[編集]

  • 閉区間において、曲線及び曲線によって囲まれる領域の面積。
Lukion_taulukot_(1993)-page038-image02
Lukion_taulukot_(1993)-page038-image02
  • 曲線, 曲線が、内のにおいて交わり、 において、 において、 であるとき、


  • 曲線をA、曲線をBとする(ただし、)。AとBが、で交わるとき、
    区間で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。

体積[編集]

  • ある立体における断面積が有限な値で、その値が の関数となるとき、この立体を平面(ただし、)で切り取った領域の体積は、
     
    【利用公式】
  • 曲線軸を中心に回転させたとき、この立体を平面(ただし、)で切り取った領域の体積は、

基本的な関数の微分公式と積分公式の相互関係[編集]

  •  (微積分学の基本定理)


  • (微分公式1) (は実数) ⇔ (積分公式1) (は実数かつ)
  • (微分公式2)  ⇔ (積分公式2)
    従って、(微分公式2-1)  ⇔ (積分公式2-1) ()
  • (微分公式3)  ⇔ (積分公式3)
    • (微分公式3-1)  ⇔ (積分公式3-1)
  • (微分公式4)  ⇔ (積分公式5)
  • (微分公式5)  ⇔ (積分公式6)