初等数学公式集/微積分

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関数の極限[編集]

  • , のとき、
  1. ただし、 は定数。
  2.  (複号同順)。
  3. ただし、
  • のある近傍で定義された関数, , があり、この近傍内の任意の に対して、 かつ ならば、 は収束し、
  •  ( は正定数)。

微分[編集]

, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

  •  (ライプニッツ則)
  • 別の表現で  (チェインルール)
  • とおくと、 とも表せる。
  • 媒介変数による微分  ならば

積分[編集]


  • 置換積分
    ただし、 のとき、それぞれ


  • 部分積分
    ただし、 と略記。
    別の表現:


  •  (コーシー・シュワルツの不等式)


曲線で囲まれる領域の面積[編集]

  • 閉区間において、曲線及び曲線によって囲まれる領域の面積。
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  • 曲線, 曲線が、内のにおいて交わり、 において、 において、 であるとき、


  • 曲線をA、曲線をBとする(ただし、)。AとBが、で交わるとき、
    区間で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。

体積[編集]

  • ある立体における断面積が有限な値で、その値が の関数となるとき、この立体を平面(ただし、)で切り取った領域の体積は、
  • 曲線軸を中心に回転させたとき、この立体を平面(ただし、)で切り取った領域の体積は、

基本的な関数の微分公式・積分公式[編集]

  •  (微積分学の基本定理)


実数 に対して

  •  ⇔ 
  •  ⇔ 
    従って、 ⇔ 
  •  ⇔ 
    •  ⇔ 
  •  
  •  ⇔ 
  •  ⇔