初等数学公式集/微積分

関数の極限

• $\lim _{x\to a}f(x)=\alpha$, $\lim _{x\to a}g(x)=\beta$のとき、

1. $\lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha$ ただし、$k$ は定数。
2. $\lim _{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta$
4. $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ ただし、$\displaystyle \beta \neq 0$。

• $a$ のある近傍で定義された関数$f$, $g$, $h$ があり、この近傍内の任意の $x$ に対して、$\displaystyle f(x)$ ≤ $g(x)$ ≤ $h(x)$ かつ $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=\alpha$ ならば、$\lim _{x\to a}g(x)$ は収束し、

  $\lim _{x\to a}g(x)=\alpha$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$
• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {1}{h}}\right)^{h}=\lim _{h\to 0}(1+h)^{\frac {1}{h}}=e$
• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {r}{h}}\right)^{h}=e^{r}$
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{a}}=1$　（$a$ は正定数）。
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{r}}=1$

微分

$\prime ={\frac {d}{dx}}$, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

• $(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
• $(fg)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }$　（ライプニッツ則）
• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\quad ({\mbox{where }}g\neq 0)$
• $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

  別の表現で ${\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$ 　（チェインルール）

• $\left(f^{-1}\right)'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

  $y=f\left(x\right)$とおくと、$x=f^{-1}\left(y\right)$で ${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$ とも表せる。

• 媒介変数による微分　$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ ならば ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}/{\frac {dx}{dt}}$

積分

• $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx$

• 置換積分

  $\int _{a}^{b}f(x(t))\cdot {\frac {dx}{dt}}\,dt=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,dx$

  ただし、$t=a,b$ のとき、それぞれ $x=x(a),x(b)=\alpha ,\beta$。

• 部分積分

  $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$

  ただし、$[h(x)]_{a}^{b}=h(b)-h(a)$ と略記。

  別の表現：$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)$

• $\left(\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right)$　（コーシー・シュワルツの不等式）

曲線で囲まれる領域の面積

• 閉区間$[a,b]$において、曲線$y=f(x)$及び曲線$y=g(x)$によって囲まれる領域の面積。

  $S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$

• 曲線$y=f(x)$, 曲線$y=g(x)$が、$[a,b]$内の$c$において交わり、$x<c$ において、$f(x)>g(x)$、$x\geqq c$ において、$f(x)\leq g(x)$ であるとき、

  $S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$$=\int _{a}^{c}(f(x)-g(x))\,dx-\int _{c}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$

• 曲線$y=a_{1}{x}^{2}+b_{1}{x}+c_{1}$をA、曲線$y=a_{2}{x}^{2}+b_{2}{x}+c_{2}$をBとする(ただし、$a_{1}\neq a_{2}$)。AとBが、$x={\alpha },{\beta }({\alpha }<{\beta })$で交わるとき、

  区間$[{\alpha },{\beta }]$で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。

  $S={\frac {|a_{1}-a_{2}|}{6}}({\beta }-{\alpha })^{3}$

体積

• ある立体$V_{0}$の$x=t$における断面積が有限な値で、その値が $t$の関数$S(t)$となるとき、この立体を平面$x=a$，$x=b$（ただし、$a<b$）で切り取った領域の体積は、

  $V=\int _{a}^{b}S(t)\,dt$

• 曲線$y=f(x)$を$x$軸を中心に回転させたとき、この立体を平面$x=a$，$x=b$（ただし、$a<b$）で切り取った領域の体積は、

  $V=\pi \int _{a}^{b}\{f(t)\}^{2}\,dx$

基本的な関数の微分公式・積分公式

• ${d \over dx}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$　（微積分学の基本定理）

実数 $a$ に対して

• $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$　⇔　$\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\left({a\neq {-1}}\right)$
• $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$　⇔　$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

  従って、$\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a$　⇔　$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\log a}}+C$

• $(\log x)'={\frac {1}{x}}$　⇔　$\int {\frac {1}{x}}dx=\log \left|{x}\right|+C$
  • $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\log a}}$
  • $(\log \left|f(x)\right|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}}$　⇔　$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log \left|{f(x)}\right|+C$

• 　$\int \log xdx=x\log x-x+C$

• $\left(\sin x\right)'=\cos x$　⇔　$\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\left(\cos x\right)'=-\sin x$　⇔　$\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\left(\tan x\right)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
• $\int \tan xdx=-\log \left|\cos x\right|+C$
• $\int \sin ^{2}xdx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$
• $\int \cos ^{2}xdx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C$

• $\left(x^{x}\right)'=x^{x}\left(1+\log x\right)$