初等数学公式集/微積分

関数の極限と連続

関数の極限

1. 数列の極限同様、実数 $x$ に対応する関数 $f(x)$ について、$x=a$ に限りなく近づける（$x\rightarrow a$ と表記する）という操作を $\lim _{x\to a}f(x)$ と記述し、$\lim _{x\to a}f(x)=\alpha$ であるとき、$\alpha$ を極限値または極値という。

   $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ ではないことに注意する（下記「関数の連続」参照）。例えば、関数: $f_{1}(x)=x+1$ と $f_{2}(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$ は明確に区別され、 $f_{1}(1)=2$ となるが、$f_{2}(1)$ の値は存在しない。一方、 $\lim _{x\to 1}f_{1}(x)=\lim _{x\to 1}f_{2}(x)=2$ となる。

2. $x\rightarrow a$ のとき、関数 $f(x)$ が、限りなく正（負）の大きな値となる場合、$f(x)$ の極限は $+\infty$ $(-\infty )$ であるといい、$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ ${\bigl (}\lim _{x\to a}f(x)=-\infty {\bigr )}$ または、$f(x)\rightarrow \infty (x\rightarrow a)$ ${\bigl (}f(x)\rightarrow -\infty (x\rightarrow a){\bigr )}$と表記する。

   $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ の例; $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ について、$x=0$ に限りなく近づける演算: $\lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)=\infty$

   $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$ の例; $f(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ について、$x=0$ に限りなく近づける演算: $\lim _{x\to 0}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-\infty$

3. その他、以下の関係も成立しうる。
   • 収束:$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$, $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=a$

     $\lim _{x\to \infty }f(x)=a$ の例; $f(x)={\frac {1}{x}}$ について、$x$ を無限に大きくする演算: $\lim _{x\to \infty }\left({\frac {1}{x}}\right)=0$

     $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=a$ の例; $f(x)={\frac {1}{x}}$ について、$x$ を負に無限に大きくする演算: $\lim _{x\to {-\infty }}\left({\frac {1}{x}}\right)=0$

   • 発散:$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$, $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty$ / $\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty$, $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty$

     $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$, $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty$ となる関数の例; $f(x)=x$

     $\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty$, $\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty$ となる関数の例; $f(x)=-x$

4. 左方極限・右方極限（w:片側極限）

   $f(x)$ が、$x=a$ で極値をもつとき、$x$ が左から近づく場合（すなわち、$x$ が $x<a$ から増加して $a$ に近づく場合）と右から近づく場合（すなわち、$x$ が $a<x$ から減少して $a$ に近づく場合）で挙動が異なる場合がある。前者を左方極限、後者を右方極限といい、以下のとおり書き表す。

   左方極限: $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$、$\lim _{x\to a-0}f(x)$

   右方極限: $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$、$\lim _{x\to a+0}f(x)$

   • 片側極限の例

     $f(x)={\frac {1}{x}}$ について、$x=0$ における挙動を見ると、左方極限: $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$、右方極限: $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$ となる。

     • $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ について、$x=0$ においては、$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$ となるため、$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$ と記述しても支障はないが、極値に至る過程は異なる。
     • 同様に、$f(x)=\log x$ について、$x=0$ において、$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$ となるが、$\lim _{x\to 0^{-}}\log x$ は、$x\leq 0$ が、$f(x)=\log x$の定義域とならないため成立しないことから、$\lim _{x\to 0}\log x=-\infty$ と記述しても支障はない

関数の極限の基本定理

• $\lim _{x\to a}f(x)=\alpha$, $\lim _{x\to a}g(x)=\beta$のとき、

1. $\lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha$ ただし、$k$ は定数。
2. $\lim _{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta$
4. $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ ただし、$\displaystyle \beta \neq 0$。
5. $a$の近傍で常に$f(x)\leqq g(x)$ならば$\alpha \leqq \beta$

　

• $a$ のある近傍で定義された関数$f$, $g$, $h$ があり、この近傍内の任意の $x$ に対して、$\displaystyle f(x)$ ≤ $g(x)$ ≤ $h(x)$ かつ $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=\alpha$ ならば、$\lim _{x\to a}g(x)$ は収束し、

  $\lim _{x\to a}g(x)=\alpha$ （はさみうちの原理）

• 追い出しの原理

  $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$かつ$a$の近傍で常に$f(x)\leqq g(x)$ならば$\lim _{x\to a}g(x)=\infty$

  $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$かつ$a$の近傍で常に$f(x)\geqq g(x)$ならば$\lim _{x\to a}g(x)=-\infty$

　

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ （→証明）

  $\Leftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }x\sin {\frac {1}{x}}=1$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$ （→証明）

  $\Leftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }x^{2}(1-\cos {\frac {1}{x}})={\frac {1}{2}}$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$ （→証明）

  $\Leftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }x\tan {\frac {1}{x}}=1$

• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {1}{h}}\right)^{h}=\lim _{h\to 0}(1+h)^{\frac {1}{h}}=e$
• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {r}{h}}\right)^{h}=e^{r}$
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{a}}=1$　（$a$ は正定数）。
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{r}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1$ （→証明）

• （参考）ロピタルの定理

  $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

  　

  （条件）

  • $c(-\infty \leqq c\leqq \infty )$を含むある区間$I$があり、関数$f,g$はその内部で微分可能である。
  • $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)$ かつその値が$0$または$\pm \infty$である。
  • 極限 $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ が存在する。
  • $I$における$c$の除外近傍において $\lim _{x\to c}g'(x)\neq 0$が成り立つ。

  　

  ※利用における注意

  ロピタルの定理自体は簡易な形状をしており、また、多くの学習参考書などでも取り上げられるなど、比較的有名なものである。しかしながら、本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本的に皆無であるので（『学習指導要領』範囲外）、そのような問題においては、利用しないことが無難であり、あくまでも検算用と考えた方がいい（ウィキペディア『ロピタルの定理』中の記事「日本の高校数学・大学入試での扱い」参照）。

  大学入試等において、この形式の問題は、関数$f(x),g(x)$が共通因数を持っており、それを約分することにより極限値を得るという解法を期待するものが多い。

関数の連続

詳細は「解析学基礎/連続関数」を参照

関数 $y=f(x)$ のある区間内の $x=a$ において、$\lim _{x\to a}f(x)$ および $f(a)$ が存在し、かつ、$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ である時、関数 $y=f(x)$ は $x=a$ において連続である、または、区間内において連続関数であるという。

この条件は、$x=a+h$ として、$\lim _{h\to 0}\{f(a+h)-f(a)\}$ とも表現できる。

連続関数の基本定理

1. ある区間において、関数 $f(x),g(x)$ が $x=a$ において連続であれば、以下に列挙するもの全て $x=a$ において連続である。

   $kf(x)$ （$k$は定数） $,\,f(x)\pm g(x),\,f(x)g(x),\,{\frac {f(x)}{g(x)}}$ （ただし、$g(x)\neq 0$）

2. $u=g(x)$ は $x=a$ において連続、$y=f(u)$ は $u=g(a)$ で連続ならば、合成関数　$y=f(g(a))$ は $x=a$ において連続である。

連続関数の性質

1. 中間値の定理

   閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ に対して、もし $f(a)\neq f(b)$ であって、 $f(a)$ と $f(b)$ の間の値を取るある数 $k$ について、 $a<c<b$ であって $f(c)=k$ となる少なくとも1つの $c$ が存在する。

2. 最大値最小値定理

   閉区間 $[a,b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ に対して、$y=f(x)$ はこの区間で少なくとも一つの最大値および最小値をとる。

   式で書けば、適当な実数 c, d ∈ [a,b] が存在して

   $f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad (\forall x\in [a,b])$　${\bigl (}f(c)$ :最大値, $f(d)$: 最小値${\bigr )}$

   が成り立つ。

微分

導関数の定義

関数$f(x)$に対して、$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$=f^{\prime }(x)={\frac {d}{dx}}f(x)$（変数$x$で微分する）。

• ${\frac {dy}{dx}}$; $y$を$x$ で微分する。

• 第2次導関数

  関数$y=f(x)$を微分して得た導関数$y=f^{\prime }(x)$をさらに微分して得た関数$y=g(x)$を、$y=f(x)$の第2次導関数という。

  • 第2次導関数の表記法:$y^{\prime \prime }$, $f^{\prime \prime }(x)$, ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$, ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)$

• 第$n$次導関数

  関数$y=f(x)$を微分した結果をさらに微分する操作を$n$回行って得た関数を、$y=f(x)$の第$n$次導関数という。

  • 第$n$次導関数の表記法:$y^{(n)}$, $f^{(n)}(x)$, ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$, ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$

変数 $x$ の微分可能な関数 $f$, $g$ に対して

• $(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

  　

• $(fg)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }$　（ライプニッツ則 →証明）

  　

• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\quad ({\mbox{where }}g\neq 0)$　（商の微分公式 →証明）

  　

  特に、$f=1$のとき、

  • $\left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}$

  　

• $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$　（合成関数の微分公式 →証明）

  　

  別の表現で ${\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$ 　（連鎖律・チェインルール）

  　

• $\left(f^{-1}\right)'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$　（逆関数の微分公式 →証明）

  $y=f\left(x\right)$とおくと、$x=f^{-1}\left(y\right)$で ${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$ とも表せる。

• 媒介変数による微分　$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ ならば ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}/{\frac {dx}{dt}}$, ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)/{\frac {dx}{dt}}$

• （参考）ライプニッツの定理　n階微分可能な2つの関数$f(x),g(x)$について、$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}{}_{n}\mathrm {C} _{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$

基本的な関数の微分公式

• [微分公式1] $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$ ($a$は実数)　（→証明）
• [微分公式2] $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$　（→証明）

  従って、[微分公式2-1] $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a$ (ただし、$a>0$)

• [微分公式3] $(\log x)'={\frac {1}{x}}$　（→証明）
  • [微分公式3-1] $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\log a}}$(ただし、$a>0$)
  • [微分公式3-2] $(\log \left|f(x)\right|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}}$
• 三角関数の微分公式　（→証明）
  • [微分公式4] $\left(\sin x\right)'=\cos x$
    • [微分公式4-1] $\left(\sin mx\right)'=m\cos mx$
    • [微分公式4-2] $\left(\sin ^{m}x\right)'=m\sin ^{m-1}x\cos x$
      • [微分公式4-2-1] $\left({\frac {1}{\sin x}}\right)'=\left(\sin ^{-1}x\right)'=(-1)\sin ^{-2}x\cdot \cos x=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}$
    • [微分公式4-3] $\left(\sin ^{m}nx\right)'=mn\sin ^{m-1}nx\cos nx$

    　

  • [微分公式5] $\left(\cos x\right)'=-\sin x$
    • [微分公式5-1] $\left(\cos mx\right)'=-m\sin mx$
    • [微分公式5-2] $\left(\cos ^{m}x\right)'=-m\sin x\cos ^{m-1}x$
      • [微分公式5-2-1] $\left({\frac {1}{\cos x}}\right)'=\left(\cos ^{-1}x\right)'=-(-1)\sin x\cdot \cos ^{-2}x={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}$
    • [微分公式5-3] $\left(\cos ^{m}nx\right)'=-mn\sin nx\cos ^{m-1}nx$

    　

  • [微分公式6] $\left(\tan x\right)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
    • [微分公式6-1] $\left(\tan mx\right)'={\frac {m}{\cos ^{2}mx}}$
    • [微分公式6-2] $\left(\tan ^{m}x\right)'={\frac {m\tan ^{m-1}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {m\sin ^{m-1}x}{\cos ^{m+1}x}}$
    • [微分公式6-2] $\left(\tan ^{m}nx\right)'={\frac {mn\tan ^{m-1}nx}{\cos ^{2}nx}}={\frac {mn\sin ^{m-1}nx}{\cos ^{m+1}nx}}$

    　

    • [微分公式6-a] $\left({\frac {1}{\tan x}}\right)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
      • [微分公式6-a-1] $\left({\frac {1}{\tan mx}}\right)'=-{\frac {m}{\sin ^{2}mx}}$
      • [微分公式6-a-2] $\left({\frac {1}{\tan ^{m}x}}\right)'=-{\frac {m}{\tan ^{m-1}x\sin ^{2}x}}=-{\frac {m\cos ^{m-1}x}{\sin ^{m+1}x}}$
      • [微分公式6-a-3] $\left({\frac {1}{\tan ^{m}nx}}\right)'=-{\frac {mn}{\tan ^{m-1}\sin ^{2}nx}}=-{\frac {mn\cos ^{m-1}nx}{\sin ^{m+1}nx}}$

  　

• 三角関数と対数の複合形の微分

  • 微分公式3-2 $(\log \left|f(x)\right|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}}$を用いて、

  • $(\log |\sin x|)'={\frac {(\sin x)'}{\sin x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}=\cot x$

    　

  • $(\log |\cos x|)'={\frac {(\cos x)'}{\cos x}}=-{\frac {\sin x}{\sin x}}=-\tan x$

    　

  • $(\log |\tan x|)'=\left(\log \left|{\frac {\sin x}{\cos x}}\right|\right)'=(\log |\sin x|-\log |\cos x|)'={\frac {1}{\tan x}}+\tan x={\frac {1}{\sin x\cos x}}$

    　

    • $\left(\log \left|{\frac {1}{\tan x}}\right|\right)'=\left(\log \left|\tan ^{-1}x\right|\right)'=-\tan x-{\frac {1}{\tan x}}=-{\frac {1}{\sin x\cos x}}$

接線の方程式等

• 曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$において、$y=f(x)$に接する直線の傾きは、$f^{\prime }(a)$である。

  したがって、曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式は、$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

• 曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$において接線と直行する直線（法線）の傾き$-{\frac {1}{f^{\prime }(a)}}$である（∵直交する2直線の傾きの積は-1）。

  したがって、曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における法線の方程式は、$y=-{\frac {x-a}{f^{\prime }(a)}}+f(a)$

• ニュートン法

  

  ニュートン法のイメージ

  曲線$y=f(x)$上のある点$P_{n}$$(x_{n},f(x_{n}))$における接線と$x$軸の交点（$x$切片、$y=0$）の値$x_{n+1}$は、$f(x)=0$の解である$x^{*}$に、$x_{n}$よりも近似することが期待されるという性質を用い、この操作を反復することで方程式を数値計算によって解く方法。

  1. 曲線$y=f(x)$上に適当に点$P_{0}$$(x_{0},f(x_{0}))$をおき、$n=0$とする。
  2. 点$P_{n}$における接線;$y=f^{\prime }(x_{n})(x-x_{n})+f(x_{n})$を求める。
  3. $f^{\prime }(x_{n})(x-x_{n})+f(x_{n})=0$として、直線との$x$切片$x_{n+1}$を求める。

     $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f^{\prime }(x_{n})}}$

  4. [アルゴリズム終了の条件]
     • $|x_{n+1}-x_{n}|\leq \epsilon$（所定の極めて小さい数値）となった時、$x_{n+1}$を$f(x)=0$の近似解とする。
     • $|x_{n+1}-x_{n}|>\epsilon$である時、$x_{n+1}$を$x_{n}$として、上記2の操作に戻る。

関数の増減

• ある関数を$f(x)$、その導関数を$f^{\prime }(x)$としたとき、
  • $f^{\prime }(x)\geq 0$である時、この式を満たす$x$において、$f(x)$は増加する。
  • $f^{\prime }(x)\leq 0$である時、この式を満たす$x$において、$f(x)$は減少する。
• 方程式$f^{\prime }(x)=0$が実数解$x=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$を持つ時（ただし、各々の解に重複はないものとする）、$x=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$において、正負が変わるため、その点で関数$f(x)$の増減が入れ替わる。この点を変曲点といい、増加から減少に転じる点を極大、減少から増加に転じる点を極小という。

  高次多項式関数の増減と区間における最大最小

  最高次の項の係数を$a$とする$n$次の高次多項式関数$f(x)$、その導関数を$f^{\prime }(x)$、かつ方程式$f^{\prime }(x)=0$が各々重複のない$n-1$個の実数解$x=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}\}$とした時、以下の性質を持つ。

  • なお、以下において、説明簡素化等のため、特に言及のない場合、条件等を以下のとおりとする。
    1. 方程式$f^{\prime }(x)=0$の実数解$x=\{x_{1},x_{2},\dots k,\dots ,x_{n-1}\}$に対する、関数$y=f(x)$の値$y=\{f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{k}),\dots ,f(x_{n-1})\}$として、$y$の中で最大・最小のものを各々$f(x_{Max}),f(x_{min})$とする。
    2. $s,t$は、$s<x_{1},x_{n-1}<t$を満たす実数である。

  1. $a>0$ならば、
     1. $n$が奇数である時、関数$f(x)$は$x=x_{1}$まで単調に増加し、以後、$x=x_{n-1}$まで増減し、$x=x_{n-1}$を超えると再び単調に増加する。
     • 区間$[s,t]$において、$f(x)$の最大値は、$f(x_{Max})$または$f(t)$のいずれか大きい方であり、最小値は$f(s)$または$f(x_{min})$のいずれか小さい方である。
     1. $n$が偶数である時、関数$f(x)$は$x=x_{1}$まで単調に減少し、以後、$x=x_{n-1}$まで増減し、$x=x_{n-1}$を超えると単調に増加する（グラフは「上に開く」）。
     • 区間$[s,t]$において、$f(x)$の最大値は、$f(s)$,$f(x_{Max})$または$f(t)$の最も大きいものであり、最小値は$f(x_{min})$である。
  2. $a<0$ならば、
     1. $n$が奇数である時、関数$f(x)$は$x=x_{1}$まで単調に減少し、以後、$x=x_{n-1}$まで増減し、$x=x_{n-1}$を超えると再び単調に減少する。
     • 区間$[s,t]$において、$f(x)$の最大値は、$f(s)$または$f(x_{Max})$のいずれか大きい方であり、最小値は$f(x_{min})$または$f(t)$のいずれか小さい方である。
     1. $n$が偶数である時、関数$f(x)$は$x=x_{1}$まで単調に増加し、以後、$x=x_{n-1}$まで増減し、$x=x_{n-1}$を超えると単調に減少する（グラフは「下に開く」）。
     • 区間$[s,t]$において、$f(x)$の最大値は、$f(x_{Max})$であり、最小値は$f(s)$,$f(x_{min})$または$f(t)$の最も小さいものである。

  3次関数の増減と区間における最大最小

  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$($a>0$)に対して、$f^{\prime }(x)=3ax^{2}+2bx+c$。

  • ここで、$f^{\prime }(x)=0$が実数解を持たない場合及び重解を持つ場合（判別式$D=b^{2}-3ac\leq 0$）、$f(x)$は、単調に増加する。
  • $f^{\prime }(x)=0$が異なる2つの実数解を持つ場合（判別式$D=b^{2}-3ac>0$）、$f^{\prime }(x)=3ax^{2}+2bx+c=0$の解を各々$\alpha ,\beta$（但し、$\alpha <\beta$）とすると、$f(x)$の変曲点は$x=\alpha ,\beta$となり、$f(\alpha )$まで増加したのち減少に転じ$f(\beta )$まで、減少した後、再び増加に転じる。この時、$f(\alpha )$を極大値、$f(\beta )$を極小値という。
  • $s<\alpha <\beta <t$である区間$[s,t]$において、$f(x)$の最大値は、$f(\alpha )$または$f(t)$のいずれか大きい方であり、最小値は$f(s)$または$f(\beta )$のいずれか小さい方である。

※解に重複がある場合

• 方程式$f^{\prime }(x)=0$の実数解$x=\{x_{1},x_{2},\dots x_{k},x_{k+1},x_{k+2}\dots ,x_{n}\}$において、隣接する2個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転せず、従って、元の関数$f(x)$の増減の傾向も変わらない。隣接する3個の解が一致する場合、その一致する解の前後で正負は逆転し、従って、元の関数$f(x)$の増減が逆転する。一般化すると、方程式$f^{\prime }(x)=0$の実数解$x=\{x_{1},x_{2},\dots x_{k},x_{k+1},x_{k+2}\dots ,x_{n}\}$において、隣接する偶数個の解が一致する場合、元の関数$f(x)$の増減の傾向は変わらない。隣接する奇数個の解が一致する場合、元の関数$f(x)$の増減はその点で逆転する。

微分と剰余定理

• $f(x)$を2次式$(x-a)^{2}$ で割った余り$r(x)$;

  　

  $r(x)=xf^{\prime }(a)+f(a)-af^{\prime }(a)$

  　

  なお、$f(x)$が$(x-a)^{2}$ で割り切れる必要十分条件は、$f(a)=f^{\prime }(a)=0$

  　

  （解法）

  $f(x)=Q(x)(x-a)^{2}+px+q$とおくと、$f^{\prime }(x)=Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+2Q(x)(x-a)+p$となり、

  $x=a$を代入すると、$f(a)=pa+q$, $f^{\prime }(a)=p$を得るので、これらを剰余式の係数$p,q$について解く。

  　

• $f(x)$を3次式$(x-a)^{3}$ で割った余り$r(x)$;

  　

  $r(x)={\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2}}x^{2}+\{f^{\prime }(a)-af^{\prime \prime }(a)\}x+f(a)-af^{\prime }(a)+{\frac {a^{2}f^{\prime \prime }(a)}{2}}$

  　

  なお、$f(x)$が$(x-a)^{3}$ で割り切れる必要十分条件は、$f(a)=f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=0$

  　

  （解法）

  $f(x)=Q(x)(x-a)^{3}+px^{2}+qx+r$とおくと、

  $f^{\prime }(x)=Q^{\prime }(x)(x-a)^{3}+3Q(x)(x-a)^{2}+2px+q$

  $f^{\prime \prime }(x)=Q^{\prime \prime }(x)(x-a)^{3}+3Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+3Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+6Q(x)(x-a)+2p$となり、

  $x=a$を代入すると、$f(a)=pa^{2}+qa+r$, $f^{\prime }(a)=2pa+q$, $f^{\prime \prime }(a)=2p$を得るので、これらを剰余式の係数$p,q,r$について解く。

• 一般に、多項式$f(x)$が$(x-a)^{n}$ で割り切れる($a$が方程式$f(x)=0$のn重解である)必要十分条件は、$f(a)=f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=f^{\prime \prime \prime }(a)=\cdots =f^{(n)}(a)=0$

陰関数の微分

$x,y$が関数の関係にある時、$y=f(x)$の形の表示を陽関数（表示）、$f(x,y)=0$の形の表示を陰関数（表示）という。なお、$f(x,y,z)=0$のように変数の数が3個以上のものがあるが、初等数学の範囲を超えるので、本公式集では言及しない。

例. 双曲線

陽関数表示: $y={\frac {2x+1}{x-1}}$、陰関数表示: $xy-2x-y-1=0$

陰関数$f(x,y)=0$において、$y$を$x$ で微分する、すなわち、${\frac {dy}{dx}}$を求める手順は以下のとおり。

1. $f(x,y)=0$の各項を、①変数が$x$のみである関数の項、②変数が$y$のみである関数の項、③$x$の関数と$y$の関数の積である項に分ける。
2. ①変数が$x$のみである関数の項$g(x)$については、そのまま$x$で微分して$g^{\prime }(x)$を求める。
3. ②変数が$y$のみである関数の項$h(y)$については、${\frac {d}{dx}}(h(y))={\frac {d}{dy}}(h(y)){\frac {dy}{dx}}$として、${\frac {dy}{dx}}$を求める。
4. ③$x$の関数と$y$の関数の積である項については、$g(x)h(y)$を微分して$g^{\prime }(x)h(y)+g(x)h^{\prime }(y)$とし、${\frac {dy}{dx}}$を上記3の方法で求める。
5. 上記2~4で求めたものにつき、${\frac {dy}{dx}}$でまとめる。

　

（例題1）$xy-2x-y-1=0$

各項を$x$ で微分。①により、$(-2x)'=-2$: ②により、$(-y)'=-y'$: ③により、$(xy)'=y+xy'$。

よって、与式を微分したものは、$y+xy'-2-y'=0$。

$y'\left(={\frac {dy}{dx}}\right)$について整理し、$y'={\frac {2-y}{x-1}}$（解1）

$y={\frac {2x+1}{x-1}}$であるので、$y'={\frac {2-{\frac {2x+1}{x-1}}}{x-1}}=-{\frac {3}{(x-1)^{2}}}$（解2）- 必ずしも、この形でなければならないわけではなく、解1の形のままで利用することもある。

なお、陽関数形式:$y={\frac {2x+1}{x-1}}$を微分すると、$y'={\frac {(2x+1)'(x-1)-(2x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^{2}}}=-{\frac {3}{(x-1)^{2}}}$となり、解2に一致する。

　

（例題2）$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

各項を$x$ で微分。①により、${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x$: ②により、${\frac {d}{dx}}(y^{2})={\frac {d}{dy}}(y^{2}){\frac {dy}{dx}}=2y{\frac {dy}{dx}}$であるから、

$2x+2y{\frac {dy}{dx}}=0$、したがって、${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$

　

（例題3）$ax^{2}+by^{2}=1$

各項を$x$ で微分。①により、${\frac {d}{dx}}(ax^{2})=2ax$: ②により、${\frac {d}{dx}}(by^{2})={\frac {d}{dy}}(by^{2}){\frac {dy}{dx}}=2by{\frac {dy}{dx}}$であるから、

$2ax+2by{\frac {dy}{dx}}=0$、したがって、${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {ax}{by}}$

対数微分法

両辺の対数を取ってから微分する方法。

• 式の乗（除）算を加（減）算に、累乗を乗算に還元して微分計算することができる。

（手順）

1. 両辺の対数を取る。
   • この時、両辺が正でなければならないので、正と限らないときはないときは絶対値を取る。
2. 両辺を$x$で微分する。
   • この時、$\log y$の微分が${\frac {y'}{y}}$になること（微分公式3-2）を利用する。
3. $y'$について解いて$x$の式で表す。

（利用局面）

1. 指数の底にも肩にも変数$x$が含まれている$y=(f(x))^{g(x)}$のような関数。

   例題: $y=x^{x}(x>0)$ の微分

   1. $y=x^{x}$について、両辺対数を取る。なお$x>0$であるので右辺左辺ともに正であり、絶対値を顧慮する必要はない。

      $\log y=\log x^{x}=x\log x$

   2. 両辺を$x$で微分する。

      ${\frac {y'}{y}}=x'\log x+x(\log x)'=\log x+1$

   3. $y(=x^{x})$を両辺にかける。

      $y'=y(\log x+1)=x^{x}(\log x+1)$

2. $y=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)$のように微分したい関数が，たくさんの関数の積になっているとき。

   例題1: $y=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)$ ただし、微分区間では、$f(x),g(x),h(x)$　ともに正とする。

   1. $y=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)$について、両辺対数を取る。

      $\log y=\log \left(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\right)=\log f(x)+\log g(x)+\log h(x)$

   2. 両辺を$x$で微分する。

      ${\frac {y'}{y}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)}{f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)}}$

   3. $y(=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x))$を両辺にかける。

      $y'=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)$

   　

   例題2: $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$ ただし、微分区間では、$f(x),g(x)$　ともに正とする。

   1. $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$について、両辺対数を取る。

      $\log y=\log \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)=\log f(x)-\log g(x)$

   2. 両辺を$x$で微分する。

      ${\frac {y'}{y}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{f(x)\cdot g(x)}}$

   3. $y\left(={\frac {f(x)}{g(x)}}\right)$を両辺にかける。

      $y'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}$ （商の微分に一致）

積分

基本的な積分の考え方

• 不定積分

  $F'(x)=f(x)$の時、　$\int f(x)dx=F(x)+C$

  別の表現：$\int f'(x)\,dx=f(x)+C$

  　

  • 変数 $x$ の関数$f,g$及びその導関数$f',g'$に対して、微分の逆演算より、
    • $\int (f^{\prime }+g^{\prime })dx=f+g+C$

      　

    • $\int (f^{\prime }g+fg^{\prime })dx=fg+C$

      　

      • $\int f^{\prime }g\,dx=fg-\int fg^{\prime }dx+C$と変形し、部分積分法に利用。

      　

    • $\int {\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}dx={\frac {f}{g}}+C$

      　

      特に、$f=1$のとき（$f=$[定数]と同意）、$f'=0$であるので、

      • $\int {\frac {g'}{g^{2}}}dx=-{\frac {1}{g}}+C$

      　

    • $\int \left((f'\circ g)\cdot g'\right)dx=f\circ g+C$

  　

  • 置換積分

    $f(x)$において、$x=g(t)$と置換できる場合、$\int f(x)dx=\int f(g(t))dx$（※）

    ここで、$x=g(t)$を$t$について微分すると、${\frac {dx}{dt}}=g'(t)$、したがって$dx=g'(t)dt$

    ※に代入すると、$\int f(x)dx=\int f(g(t))dx=\int f(g(t))g'(t)dt$

    • $f(ax+b)$の不定積分

      $F'(x)=f(x)$であるとき、 $\int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C$

      （証明）

      $\int f(ax+b)dx$に関して、 $t=ax+b$と置くと、

      $\int f(ax+b)dx=\int f(t)dx$、${\frac {dx}{dt}}={\frac {1}{a}}$であるので、$dx={\frac {1}{a}}dt$

      代入して、$\int f(ax+b)dx=\int f(t)dx={\frac {1}{a}}\int f(t)dt$

      $\int f(t)dx=F(t)+C$であるので、$\int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(t)+C$、$t=ax+b$を戻して、（与式） $={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C$

  　

• 定積分

  $F'(x)=f(x)$の時、 $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

  なお、$F(b)-F(a)={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}$ と略記。

  • 定積分の性質
    • $\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx$, $\int _{a}^{a}f(x)dx=0$

    　

    • $a<c<b$として、$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$

      　

      • $[a,c]$において、すべての$x$について、$f(x)\leq 0$であり、$[c,b]$において、すべての$x$について、$f(x)\geq 0$であるならば、

        　

        $\int _{a}^{b}|f(x)|dx=-\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$

    　

    • $f(x)=f(-x)$（$f(x)$は偶関数）ならば、$\int _{-a}^{a}f(x)dx=2\int _{0}^{a}f(x)dx$

      　

      • $f(x)=f(-x)$（$f(x)$は偶関数）ならば、$\int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{1+p^{x}}}dx=\int _{0}^{a}f(x)dx$（証明）

    　

    • $f(-x)=-f(x)$（$f(x)$は奇関数）ならば、$\int _{-a}^{a}f(x)dx=0$

      　

    • $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx$

  　

• 置換積分

  $f(x)$において、$x=g(t)$と置換できる場合、

  　

  $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(t))g'(t)dt$　ただし、$\alpha =g(a),\beta =g(b)$。

  　

• 部分積分

  $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx={\Big [}f(x)g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$

  別の表現：$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)={\Big [}f(x)g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)$

• 定積分と不等式

  閉区間$[a,b]$において$f(x)\leqq g(x)$ならば$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leqq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

  等号成立は閉区間$[a,b]$において恒等的に$f(x)=g(x)$のとき。

• コーシー・シュワルツの不等式

  $\left(\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right)$

  　

• King Property （King's Property とも）

  　

  $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(a+b-x)\,dx$

  　

  特に、　

  [1] $\int _{0}^{a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}f(a-x)\,dx$

  　

  [2] $\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=\int _{-a}^{a}f(-x)\,dx$

  　

  利用局面1

  $I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(a+b-x)\,dx$より、

  　

  $2I=\int _{a}^{b}(f(x)+f(a+b-x))\,dx$とすると、積分計算が容易になる場合がある。

  　

  なお、このとき、$a+b=0$ ならば、$2I=\int _{-b}^{b}(f(x)+f(-x))\,dx$

  　

  利用局面2

  $\int _{0}^{a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}f(a-x)\,dx$の形の式で三角関数が登場する時、

  $f(x)$と$f(a-x)$の形で、補角の公式（$\sin(\pi -x)=\sin x$等）や余角の公式（$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos x$等）を利用できる場合がある。

代表的な関数の積分公式

基本的な関数の積分公式

• [積分公式1] $\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C$ ($a$は実数かつ$a\neq -1$)
• [積分公式2] $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

  従って、[積分公式2-1] $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\log a}}+C$ (ただし、$a>0$)

• [積分公式3] $\int {\frac {1}{x}}dx=\log \left|{x}\right|+C$
  • [積分公式3-1] $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log \left|{f(x)}\right|+C$

  　

• [積分公式4] $\int \log x\,dx=x\log x-x+C$（証明）

  　

• 三角関数の積分　（→証明）
  • [積分公式5] $\int \cos x\,dx=\sin x+C$
    • [積分公式5-1] $\int \cos mx\,dx={\frac {\sin mx}{m}}+C$
  • [積分公式6] $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
    • [積分公式6-1] $\int \sin mx\,dx=-{\frac {\cos mx}{m}}+C$
  • [積分公式7] $\int \tan x\,dx=-\log \left|\cos x\right|+C$（→上記も参照。）

    [積分公式7-1] $\int {\frac {1}{\tan x}}dx\left(=\int \cot x\,dx\right)=\log \left|\sin x\right|+C$（→上記も参照。）

  三角関数の定積分

  $b-a=2n\pi$（$n$は任意の整数）であるとき、

  $\int _{a}^{b}\sin x\,dx=\int _{a}^{b}\cos x\,dx=0$

  （拡張）

  $\int _{a}^{b}\sin ^{m}x\,dx=\int _{a}^{b}\cos ^{m}x\,dx=0$

  $\int _{\frac {a}{k}}^{\frac {b}{k}}\sin kx\,dx=\int _{\frac {a}{k}}^{\frac {b}{k}}\cos kx\,dx=0$

  　

  積分区間${\frac {\pi }{2}}$ごと

  　

  ①$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos x\,dx=1$　、②$\int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }\sin x\,dx=1,\int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }\cos x\,dx=-1$

  ③$\int _{\pi }^{\frac {3\pi }{2}}\sin x\,dx=\int _{\pi }^{\frac {3\pi }{2}}\cos x\,dx=-1$　、④$\int _{\frac {3\pi }{2}}^{2\pi }\sin x\,dx=-1,\int _{\frac {3\pi }{2}}^{2\pi }\cos x\,dx=1$

  　

  積分区間$\pi$ごと

  　

  ①$\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=2,\int _{0}^{\pi }\cos x\,dx=0$　、②$\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{2}}\sin x\,dx=0,\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {3\pi }{2}}\cos x\,dx=-2$

  　

  ③$\int _{\pi }^{2\pi }\sin x\,dx=-2,\int _{\pi }^{2\pi }\cos x\,dx=0$　、④$\int _{\frac {3\pi }{2}}^{\frac {5\pi }{2}}\sin x\,dx=0,\int _{\frac {3\pi }{2}}^{\frac {5\pi }{2}}\cos x\,dx=2$

複合的な積分

複合的な三角関数の積分

• $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$（証明）

  　

• $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C$（証明）

  　

• $\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$（*1より）

  　

• $\int \sin ^{n}x\cos x\,dx={\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}+C$（微分公式4-2参照）

  　

• $\int \cos ^{n}x\sin x\,dx=-{\frac {\cos ^{n+1}x}{n+1}}+C$（微分公式5-2参照）

  　

• $\int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$（証明）

  　

• $\int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C$（証明）

  　

• $\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}dx=-{\frac {1}{\tan x}}+C$（証明:微分公式6-a参照）

  　

  • $\int {\frac {1}{\tan ^{2}x}}dx=\int {\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1-\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}}dx=\int \left({\frac {1}{\sin ^{2}x}}-1\right)dx=-{\frac {1}{\tan x}}-x+C$

  　

• $\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x+C$（証明:微分公式6参照）

  　

  • $\int {\tan ^{2}x}dx=\int {\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}dx=\int \left({\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1\right)dx=\tan x-x+C$ (*1)

  　

• $\int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\log |\tan x|+C$（上記参照,別証明）

  　

• $\int {\frac {1}{1+\sin x}}dx=\tan x-{\frac {1}{\cos {x}}}+C=-{\frac {2}{1+\tan {\frac {x}{2}}}}+C$（証明1,証明2）

  　

• $\int {\frac {1}{1-\sin x}}dx=\tan x+{\frac {1}{\cos {x}}}+C={\frac {2}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}+C$（証明1,証明2）

  　

• $\int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}+{\frac {1}{\sin {x}}}+C=\tan {\frac {x}{2}}+C$（証明1,証明2）

  　

• $\int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}-{\frac {1}{\sin {x}}}+C=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C$（証明1,証明2）

  　

• 積和の公式を利用するもの
  • $\int \sin mx\cos nx\,dx={\frac {1}{2}}\int \left\{\sin(m+n)x+\sin(m-n)x\right\}dx=-{\frac {\cos(m+n)x}{2(m+n)}}-{\frac {\cos(m-n)x}{2(m-n)}}+C$

    　

    但し、$m=\pm n$の時、与式$={\frac {1}{2}}\int \sin 2mx\,dx=-{\frac {\cos 2mx}{4m}}+C$

    　

    特に、$\int \sin x\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\int \sin 2x\,dx=-{\frac {\cos 2x}{4}}+C$

    　

  • $\int \cos mx\cos nx\,dx={\frac {1}{2}}\int \left\{\cos(m+n)x+\cos(m-n)x\right\}dx={\frac {\sin(m+n)x}{2(m+n)}}+{\frac {\sin(m-n)x}{2(m-n)}}+C$

    　

    但し、$m=\pm n$の時、$(m+n,m-n)=(2m,0),(0,2m)$であるから、与式$={\frac {1}{2}}\int \left\{\cos 2mx+\cos 0\right\}dx={\frac {1}{2}}\int \left\{\cos 2mx+1\right\}dx={\frac {\sin 2mx+2x}{4m}}+C$

    　

    特に、$|m|=|n|=1$の時、結果は、${\frac {\sin 2x+2x}{4}}+C$であるが、与式$=\int \cos(\pm x)\cos(\pm x)dx$（複号任意）$=\int \cos ^{2}x\,dx$であるので、上記の式に一致。

    　

  • $\int \sin mx\sin nx\,dx=-{\frac {1}{2}}\int \left\{\cos(m+n)x-\cos(m-n)x\right\}dx=-{\frac {\sin(m+n)x}{2(m+n)}}+{\frac {\sin(m-n)x}{2(m-n)}}+C$

    　

    但し、$m=\pm n$の時、$(m+n,m-n)=(2m,0),(0,2m)$であるから、与式$=-{\frac {1}{2}}\int \left\{\pm \cos 2mx\mp \cos 0\right\}dx=-{\frac {1}{2}}\int \left\{\pm \cos 2mx\mp 1\right\}dx=\pm {\frac {2x-\sin 2mx}{4m}}+C$

    　

    特に、$m=n=1$の時、結果は、${\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C$であるが、与式$=\int \sin x\sin x\,dx=\int \sin ^{2}x\,dx$であるので、上記の式に一致。

代表的な置換

以下、置換積分における代表的な置換を列挙する。置換の方法は複数通り考えられるので、必ずしもこの置換でなければいけない訳ではない。

• $\{f(x)\}^{n}$を含む積分は、$f(x)$を置換する。

  例：$\int {\frac {e^{2x}}{(e^{x}+1)^{2}}}\,dx=\int {\frac {e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}}\cdot e^{x}\,dx=\int {\frac {t-1}{t^{2}}}\,dt$

• ${\sqrt[{n}]{g(x)}}$を含む積分は、根号全体を置換する。

  例：$\int {\frac {x}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\int {\frac {3-u^{2}}{u}}\cdot (-2u)\,du=\int (3-u^{2})\,du$

• 三角関数で置換するもの※

  $\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx=\int {\sqrt {a^{2}-(a\sin \theta )^{2}}}\cdot a\cos \theta \,d\theta =a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta$

  $x=a\cos \theta$と置換する場合は$\int \sin ^{2}\theta \,d\theta$が出てくる。

  $\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}=\int {\frac {d\theta }{(a\tan \theta )^{2}+a^{2}}}=\int {\frac {\cos ^{2}\theta }{a^{2}}}\cdot {\frac {a}{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta ={\frac {1}{a}}\int \,d\theta$

• 特殊な置換
  • 三角関数のみを含む積分について$t=\tan {\frac {\theta }{2}}$と置換する。（ワイエルシュトラス置換）

    $\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\tan \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}}$（三角関数の媒介変数表示）となって分数関数の積分として計算できる。

  • ${\sqrt {x^{2}+A}}$を含む積分は$x+{\sqrt {x^{2}+A}}=t$と置換する（オイラー置換）。

    例：$\int {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,dx=\int {\sqrt {{\frac {1}{4}}(t-{\frac {a^{2}}{t}})^{2}+a^{2}}}\cdot {\frac {1}{2}}(1+{\frac {a^{2}}{t^{2}}})\,dt={\frac {1}{4}}\int (1+{\frac {a^{2}}{t}})(1+{\frac {a^{2}}{t^{2}}})\,dt$

  • 参考：${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$を含む積分は双曲線関数で置換する。

    例：$\int {\frac {dx}{x^{2}+4}}=\int {\frac {1}{\sqrt {(2\sinh \theta )^{2}+4}}}\cdot 2\cosh \theta \,d\theta =\int \,dt$

※三角関数による置換は、大学数学における以下の公式を背景にしている。

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$（$-1<x<1$）

$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$（$-1<x<1$）

$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{|a|}}+C$（ただし$a\neq 0,|x|<|a|$）

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {1}{a}}+C$（ただし$a\neq 0$）

$\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{|a|}})+C$（ただし$a\neq 0,|x|<|a|$）

曲線で囲まれる領域の面積

• 閉区間$[a,b]$において、曲線$y=f(x)$及び曲線$y=g(x)$によって囲まれる領域の面積。

  $S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$

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• 曲線$y=f(x)$, 曲線$y=g(x)$が、$[a,b]$内の$c$において交わり、$x<c$ において、$f(x)>g(x)$、$x\geqq c$ において、$f(x)\leq g(x)$ であるとき、

  $S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$$=\int _{a}^{c}(f(x)-g(x))\,dx-\int _{c}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$

• 曲線$y=a_{1}{x}^{2}+b_{1}{x}+c_{1}$をA、曲線$y=a_{2}{x}^{2}+b_{2}{x}+c_{2}$をBとする(ただし、$a_{1}\neq a_{2}$)。AとBが、$x={\alpha },{\beta }({\alpha }<{\beta })$で交わるとき、

  区間$[{\alpha },{\beta }]$で、曲線Aと曲線Bにより囲まれる領域の面積。

  $S={\frac {|a_{1}-a_{2}|}{6}}({\beta }-{\alpha })^{3}$（1/6公式）

• （1/12公式）
• （1/20公式）

これらはy軸まわりで考えても同様である。

• 曲線${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$について、$[a,b]$の範囲でtの増加とともに点$P(f(t),g(t))$がxy平面上を原点中心に反時計回りに動くときに線分$OP$が通過する領域の面積は、$\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\{xg'(t)-yf'(t)\}dt$（ガウス・グリーンの定理）
• 極座標系での求積

  曲線$r=r(\theta )$と2直線$\theta =\alpha ,\theta =\beta$で囲まれた部分の面積は、$S=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{2}}\{r(\theta )\}^{2}d\theta$ （→証明）

  ただし、θは偏角とは限らない。

極限と積分の関係（区分求積法）

区分求積法とは、関数の値を細かく区切って足し合わせることで積分を近似する方法である。

　

$f(x)$ は区間$[0,1]$で連続であるとき、次の極限が成り立つ。

　

$\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {n}{k}}\right)=\int _{0}^{1}f(x)\,dx$

　

同様に、区間$[0,m]$で連続であるとき、次の極限が成り立つ。

　

$\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{mn}f\left({\frac {n}{k}}\right)=\int _{0}^{m}f(x)\,dx$

　

これは、区分求積法による近似が極限で積分に収束することを表している。

体積

• ある立体$V_{0}$の$x=t$における断面積が有限な値で、その値が $t$の関数$S(t)$となるとき、この立体を平面$x=a$，$x=b$（ただし、$a<b$）で切り取った領域の体積は、

  $V=\int _{a}^{b}S(t)\,dt$

  　

  【利用公式】

  • 錐体の体積
  • くさび形の体積
  • 球の体積
  • 円環体（トーラス）の体積

• 曲線$y=f(x)$を$x$軸を中心に回転させたとき、この立体を平面$x=a$，$x=b$（ただし、$a<b$）で切り取った領域の体積は、

  $V=\pi \int _{a}^{b}\{f(x)\}^{2}\,dx$

• 曲線$x=g(y)$をy軸を中心に回転させたとき、この立体を平面$y=c,y=d$(ただし$c<d$)で切り取った領域の体積は、

  $V=\pi \int _{c}^{d}\{g(y)\}^{2}\,dy$

• 曲線$y=f(x)$とx軸、直線$x=a,x=b$に囲まれた部分をx軸周りに一回転した立体の体積は、

  $V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx$（バームクーヘン積分・円筒分割積分）

• 図形Aを図形Aと交わらない直線の周りに一回転してできる立体の体積は、V=（Aの重心が描く円の円周長）×（Aの面積）。（パップス・ギュルダンの定理）

斜軸回転体の体積

• 平面中の直線Lの周りの回転体の体積は、回転軸Lに垂直な平面で回転体を切った断面積の積分で求まる。

• 曲線$y=f(x)$と直線$mx+n,x=a,x=b$で囲まれた部分を直線$y=mx+n$の周りで一回転した体積は、$\tan \theta =m$として、

  $V=\pi \cos \theta \int _{a}^{b}\{f(x)-(mx+n)\}^{2}dx$（傘型分割積分）

• 回転軸Lをx軸もしくはy軸に重ねる回転移動を行い通常の回転体の求積公式に強引に当て嵌めることで、置換積分により体積が求まる。

曲線の長さ

• 閉区間$[a,b]$における、曲線$y=f(x)$の長さ$L$。

  $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

  • 上記曲線が媒介変数$t$によって、$x=x(t),y=y(t),a=x(\alpha ),b=x(\beta )$と表される時の長さ$L$。

  $L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt$

平面上の運動と微積分

xy平面上における運動の時刻$t$における位置,速度,加速度をそれぞれ${\vec {x}}(t),{\vec {v}}(t),{\vec {a}}(t)$とする。

• ${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)=v(t)\iff \int {\vec {v}}(t)\,dt={\vec {x}}(t)+{\vec {x_{0}}}$
• ${\frac {d}{dt}}{\vec {v}}(t)={\vec {a}}(t)\iff \int {\vec {a}}(t)\,dt={\vec {v}}(t)+{\vec {v_{0}}}$
• ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {x}}(t)={\vec {a}}(t)\iff \int \int {\vec {a}}(t)\,dt\,dt={\vec {x}}(t)+{\vec {x_{0}}}$
• 時刻aから時刻bまで運動を続けた時の道のりは$\int _{a}^{b}|{\vec {v}}(t)|\,dt$

基本的な関数の微分公式と積分公式の相互関係

• ${d \over dx}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$　（微積分学の基本定理）

• （微分公式1） $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$ ($a$は実数)　⇔　（積分公式1） $\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C$ ($a$は実数かつ$a\neq -1$)
• （微分公式2） $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$　⇔　（積分公式2） $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

  従って、（微分公式2-1） $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a$　⇔　（積分公式2-1） $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\log a}}+C$($a>0$)

  （応用）

  $\left(f(x)e^{x}\right)'=\left(f(x)+f'(x)\right)e^{x}$　⇔　$\int \left(f(x)+f'(x)\right)e^{x}\,dx=f(x)e^{x}+C$

• （微分公式3） $(\log x)'={\frac {1}{x}}$　⇔　（積分公式3） $\int {\frac {1}{x}}dx=\log \left|{x}\right|+C$
  • （微分公式3-1） $(\log \left|f(x)\right|)'={\frac {f'(x)}{f(x)}}$　⇔　（積分公式3-1） $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log \left|{f(x)}\right|+C$

• （微分公式4） $\left(\sin x\right)'=\cos x$　⇔　（積分公式5） $\int \cos xdx=\sin x+C$
• （微分公式5） $\left(\cos x\right)'=-\sin x$　⇔　（積分公式6） $\int \sin xdx=-\cos x+C$