出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
2点A
, B
において、
- 距離:
![{\displaystyle AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d935058aadafaa6d9f580c7634312bcde2ef26)
に内分する点
:![{\displaystyle \left({\frac {ma_{2}+na_{1}}{m+n}},{\frac {mb_{2}+nb_{1}}{m+n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bc216e2788aa53df2e553d3e31569111f9c516)
![{\displaystyle m:n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6491f2911bfca5d4c34d220f33457646933ed44)
に外分する点
:![{\displaystyle \left({\frac {ma_{2}-na_{1}}{m-n}},{\frac {mb_{2}-nb_{1}}{m-n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b181a112a8caa73c83491206fbb8e709d6653845)
の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式:
![{\displaystyle y-b=f(x-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af484f22e33c538d45a55b9c1a1c9de13941f98e)
の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
![{\displaystyle y=-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4170a8055227593c9354208a356ecf4f9caa2911)
の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
![{\displaystyle y=f(-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3a98da590e4ed381ddd71000162b3f91bc0795)
の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式:
![{\displaystyle y=-f(-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00965a0da3061a1f2cd8e8c86f7b597cdc62cfc5)
の表すグラフを
に関して対称移動したときのグラフを表す式:
の逆関数を
と表す場合、![{\displaystyle y=f^{-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915a5e50073dee92572eb12065ae0324abbeb200)
- 2点
,
を通る直線の式:
![{\displaystyle y={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4488537318e6680cce47a67e46cbf4a4f2847b17)
- 2点
切片
,
切片
(但し、ab≠0とする)を通る直線の式:
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679b8c8bf5e43cb8df7e25076be3cdf1aa1a3fb3)
- 点
を通り、傾き
の直線の式:
![{\displaystyle y-y_{0}=c(x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7019e47ab9aad197bcd02cb03a510a14ffaee11c)
- 傾き
を方向ベクトル
と捉えると:
![{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0bea45b83b1971b221df1603c78b56c887dd74)
- 点
と直線
の距離
:
= ![{\displaystyle {\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b7342d520b81ba7f47864aa234eccb70b6ba8a)
- xをaからbまで変化させたときの関数
の変化の割合(平均変化率):
![{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fed83c0443dce2a8d4c231747a1d33f72b239fa)
- 関数
のグラフ上の点
における接線:
![{\displaystyle y-y_{1}=f^{\prime }(x)(x-x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c736b26afb174a6f8f45fe0b5685fb719f4954f)
- 原点
を中心とする、半径rの円
の方程式(標準形):
![{\displaystyle O:\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a58c39d3306a3dcc34001692c49114c8d178fc7)
- 上記円
を、
移動させた、半径rの円
の方程式
, 中心座標![{\displaystyle \displaystyle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d110fdc0c53448a4c01ccf320162bb380f9349e)
- 円の方程式の一般形
ただし、
。
- 円
について一般角
を用いた媒介変数表示
![{\displaystyle x=r\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f27adec1ac1792288cba78a125b22893a59507a)
- 円
について一般角
を用いた媒介変数表示
![{\displaystyle x=r\cos \theta +a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d15d3fa10d03f88ff524a73989e4a0d03545f4a)
![{\displaystyle y=r\sin \theta +b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3cbb1de331f8692356dce0c2d7b00b8e07119a)
- 円
上の点![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
における接線:
(参考)
- 楕円の標準形:
- 上記楕円の、
軸、
軸との交点を、
とすると、
、
の長い方を長軸、短い方を短軸という。長軸と短軸を合わせて主軸という
は、
で垂直に交わる。点
を楕円の中心、点
を楕円の頂点という。中心を通る弦を直径という。
- 直径:
![{\displaystyle d=2{\sqrt {b^{2}+\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89551f62e4325a3bd091957d7509b7d959dfffa)
![{\displaystyle =2{\sqrt {a^{2}+\left(1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a623dbf5446b55d677fb4d1858935bd21595f954)
- 上記楕円の一般角
を用いた媒介変数表示
![{\displaystyle x=a\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c10167ff4e77f10633faa8649bc9da62f4199a)
![{\displaystyle y=b\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f757c5386174776c289d623e1c7c30e20659b52)
楕円と焦点
- 2定点
![{\displaystyle F:(k,0),F':(-k,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db6d0671ec9152d3f613a09e1beffdf37bf0ac1)
までの距離の和:
が一定値:
である点
の軌跡は以下の式となる(なお、
)。
- これは、
、
を長軸、
を短軸とする楕円である。
- この時、
を楕円の焦点という。
- 2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。
- 標準形:
の焦点:
ならば、![{\displaystyle F:({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0),F':(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78a6b1508aadeb738f66ed32755eebe34d8cc98)
ならば、![{\displaystyle F:(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}),F':(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde3687b94fa652ec09fa31d0d99e250d2f1a619)
- 楕円:
上の点
における接線:
(参考)
- グラフが点
を頂点とし,2次の項の係数が
である二次関数の式:
![{\displaystyle y=a(x-p)^{2}+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f122210997b6898d6cc129650ba8ae0f06f300b4)
- グラフが点
を頂点とし,点
を通る二次関数の式:
![{\displaystyle y={\frac {b-q}{(a-p)^{2}}}(x-p)^{2}+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072ab17e5fc44785d10dd568a849459cb7eb37c9)
- 二次関数
のグラフの頂点:
![{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2fa019fbccb36c9b48fd516ca2c3749d595ff5)
- グラフが2点
,
を通り,2次の項の係数が
である二次関数の式:
![{\displaystyle y=c(x-a_{1})(x-a_{2})+{\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b5609defeb9dc73bcf68e4389bb9ec3a314b9c)
- グラフが3点
,
,
を通る二次関数の式:
![{\displaystyle y=b_{1}{\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})}}+b_{2}{\frac {(x-a_{3})(x-a_{1})}{(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{1})}}+b_{3}{\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})}{(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a712bc377122b57e16e244741d40277b3432275b)
準線 L と焦点 F
- 点
について、定点
と
を通らない直線
上の点で
と距離をなす
に関して、
であるときの点
の軌跡は放物線となる。この時、定点
を焦点、直線
を準線という。
:
、焦点を
:
、準線の式を
とすると
より
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+(a-y)^{2}}}=y+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e99690b6f9b7a0d6f9e4528cd41a1e9932da5e1)
![{\displaystyle x^{2}+a^{2}-2ay+y^{2}=y^{2}+2ay+a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7425d3d172c22c1764f8ac7b658ac54bc5ec4ddc)
![{\displaystyle x^{2}=4ay}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678601e432ea9f64a26a8c35d86a0583cbcf7de8)
![{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5427555050fe04e3809c6965503f1dc8075dad5)
の焦点
:
、準線:![{\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abceaef49b085d8ecd3d81020fb6c937231082b2)
- 放物線:
上の点
における接線:
![{\displaystyle y_{1}y=2p(x+x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53fdbfe87bf160f4543975440ef8113c7cef46a)
双曲線
- 双曲線の標準形:
(
軸対称、右図青色で示されるもの)
- 上記双曲線の漸近線:
- 特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。
- 直角双曲線:
について
回転させると、
, ![{\displaystyle Y=x\sin {\frac {\pi }{4}}+y\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x+y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae49d9826319f745c69e14e53d71b60b46dba6c3)
, ![{\displaystyle x+y=Y{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3307ca6e265f33a53c7cf05935516228d325e8)
、即ち、
となり、反比例のグラフとなることがわかる。
- 双曲線:
上の点
における接線:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9227e234c5d78cc71aaa006d74f6fd6d27853bbe)
- 一般角
を用いた媒介変数表示
![{\displaystyle x={\frac {a}{\cos \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a7b0db38f216632a679eb09b61aef4f19a18d0)
![{\displaystyle y=b\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fcfcebaeeeeae33657947d181183436b4838969)
双曲線と焦点
- 2定点
までの距離の差:
が一定値:
である点
の軌跡は以下の式となる。
において、
なので、
。従って、
であり、
と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。
- この時、
を双曲線の焦点といい、焦点を結ぶ直線を主軸(上記の場合、
軸:
)という。
- 双曲線と主軸の交点を求めると、
、交点は
となり、これらを、双曲線の頂点、頂点の中点を双曲線の中心という。
- 標準形:
の焦点:
![{\displaystyle F:({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),F':(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba237ac39cf2794119d23ef232fe80015044be6)
- 原点O・点
・点
を結んでできる三角形OABの面積S:
![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|y_{0}\right|\left|x_{a}-x_{b}\right|={\frac {1}{2}}\left|x_{0}\right|\left|y_{a}-y_{b}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbd343e752e386650bd91a02bef1b0a130f6b56)
- ただし
はそれぞれ直線ABのx切片・y切片。
- または
(サラスの公式)
- 2次関数(
)上の3点
・
・
を結んで出来る三角形ABCの面積S:
,
,
とすると、
![{\displaystyle S={\frac {|almn|}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79421ca6346b851da6119ef9f7a770c554459ad8)
- 2点A
, B
間の距離:
![{\displaystyle AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61adeef7bc6ea8c72349ffa5a4d36f37831ff06)
- 点
を通り、方向ベクトルが
である直線の式:
![{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a417766c65028284509f7ee55f443b5aff4eb2a0)
- 2点
,
を通る直線の式:
![{\displaystyle {\frac {x-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}={\frac {y-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}={\frac {z-c_{1}}{c_{2}-c_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d1112c0017533d5e2933b07be265183ed2a415)
- 一般式
- なお、
である時、
と表せる。
- また、
ならば、
であり、原点
を含む平面となる。
- 点
を通り、法線ベクトルが
である平面の式:
![{\displaystyle a({x-x_{0}})+b({y-y_{0}})+c({z-z_{0}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd010e08b75a364e30b54c1b562c20ae36693fc)
- 3点
切片
,
切片
,
切片
(ただし
とする)を通る平面の式:
![{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fe5aee964e47fa50891ab72d2d7e0dd854277a)
- 同一直線上にない3点
,
,
を通る平面の式:
![{\displaystyle ax+by+cz=\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb506481d290d0ab2e24059ce40d8a66366217c5)
- ただし、
![{\displaystyle a=y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}-y_{1}z_{3}+y_{3}z_{1}+y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73b9904f5cf140c4f8e4e5e56289724f01a0559)
![{\displaystyle b=-x_{2}z_{3}+x_{3}z_{2}+x_{1}z_{3}-x_{3}z_{1}-x_{1}z_{2}+x_{2}z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f6b07b5c09bedd4dba53a0e2eee614233d26e8)
![{\displaystyle c=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e28675db3aaf7f13ff30e50c80ce81285a9910)
![{\displaystyle \Delta =x_{1}y_{2}z_{3}+x_{2}y_{3}z_{1}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{1}y_{3}z_{2}-x_{2}y_{1}z_{3}-x_{3}y_{2}z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9b7aeab0cbfc28cf985155199b90a7a8431695)
- ※通常は、
.or.
に代入して、三元一次方程式を解く。その結果をクラメルの公式を用いて表したのが上記。
- 点
と平面
の距離
:
= ![{\displaystyle {\frac {\left|ap+bq+cr+d\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d8cd0f73567c6ab006bf1e981a20f7a46a6536)
- 平面と直線との交点
- 平面
と直線
との交点。
- (解法)
- 直線上の点をパラメータ
で表すと![{\displaystyle (pt+x_{0},qt+y_{0},rt+z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933e9a4fdce67166e3290146a47fc620bacb38f3)
- これを、平面の式に代入し、
について解くと、
=
が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める(代入の結果は割愛)。
- なお、
かつ
ならば、平面
と直線
は交点を有さない。
- この時の平面
と直線
との距離は、
![{\displaystyle {\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e56c7d988e5a21cd4f3e95a308d8f243c6bf68b)
- また、
かつ
ならば、直線
は平面
上にある。
は、平面
の法線ベクトル
と直線
の方向ベクトル
との内積であり、この値が
であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。
- 2平面の交差
- 平面
と平面
とが交わる時、二面角を
(ただし、
)とすると、以下の式が成立する。
![{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed4f879f9b81c8ade2afc02ad5330b1ebe945b7)
- 2平面の交線
- 平面
と平面
とが交線として直線
を有するとき、以下の関係が成立。
- 平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。
- したがって、平面
と平面
の各々の法線ベクトル:
,
について、
(
)
- 二面角を
として、
。
- 直線
の方向ベクトル:
は、法線ベクトル:
,
と直行する。
- そのような、ベクトル:
の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。
![{\displaystyle p=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892cba146e660e062b4c26032ec671e67072ee08)
![{\displaystyle q=-a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2787ef6aca636f8b0bce4d4f8e2e6c9dfb05bd14)
![{\displaystyle r=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa485bef349bbeaabd49f3f26583ff8589e2f977)
- 直線
上の点
は、以下の等式を満たす。
![{\displaystyle a_{1}x_{0}+b_{1}y_{0}+c_{1}z_{0}+d_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca52bf68dff12dc6282caad1c209e45f5caf133)
![{\displaystyle a_{2}x_{0}+b_{2}y_{0}+c_{2}z_{0}+d_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c901ed8d2bd1367c609d05c18373d2496fd2e2)
と置くなどして方程式を解き、
を一意に決めることができる。
- 上記2. 3.により直線
の式を得ることができる。
- 中心座標
、半径rの球の方程式(標準形):
![{\displaystyle \displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319a4a9cd9ea31229c62c2ff6dfbe1eb69f12d17)
- 球面:
上の点
で接する平面
![{\displaystyle ({a-x_{0}})({x-x_{0}})+({b-y_{0}})({y-y_{0}})+({c-z_{0}})({z-z_{0}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05973a16703b53d56a412fd7a8d48e5431d8820f)