制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=f(t)

x(t_{0})=x_{0},\quad x'(t_{0})=v_{0}

の解の一意性を示すのは簡単である． $m>0,k>0$ である．前項と同様に考えて，

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=0

(3.14)

x(t_{0})=x'(t_{0})=0

の解が $x\equiv 0$ に限ることをいえばよい．いまこの系のエネルギーを考える：

E(t)={\frac {1}{2}}mx'^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}

これが保存されることは物理的にみて明らか^[1]である．事実，微分すると，

{\frac {dE}{dt}}=mx'x''+kxx'

式 (3.14) を考慮すると，

{\frac {dE}{dt}}=x'(-kx)+kxx'=0

^[2]

となる．よって

E(t)=const.=E(t_{0})

を得，再び式 (3.14) の初期条件を思い起こすと， $E(t_{0})=0$ であることが分かる^[3]．すなわち，

E(t)={\frac {1}{2}}m\{x'(t)\}^{2}+{\frac {1}{2}}k\{x(t)\}^{2}\equiv 0

\therefore x(t)\equiv 0

^[4]

この技法をエネルギーの方法といい，偏微分方程式の解の一意性を示す場合などにも使われる．

^ エネルギー保存則が実際成立することは次の式変形で示される．ばね定数 $k$ ，自然長からの変位が $x$ であるバネの保有するエネルギーは ${\frac {1}{2}}kx^{2}$ ．
^ $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=0$ より $mx''=-kx$ ．
^ $E(t)=E(t_{0})={\frac {1}{2}}m\{x'(t_{0})^{2}\}+{\frac {1}{2}}k\{x(t_{0})\}^{2}=0$
^ すなわち， ${\frac {1}{2}}m\{x'(t)\}^{2}=-{\frac {1}{2}}k\{x(t)\}^{2}$
$x'(t)=\pm {\sqrt {\frac {k}{m}}}x(t)$
$x'=\alpha x$
この解は $x=Ce^{\alpha x},\quad -\infty <\alpha <\infty$
$x(t_{0})=0$ より $x(t_{0})=Ce^{-\alpha t_{0}}=0\therefore C=0\therefore x\equiv 0$ ．