出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
Laplace 変換を用いて微分方程式を解くとき,初期値は
で与えられている必要があった.
しかし,前節で述べた定常性の原理を用いると,
で初期値が与えられている場合,すなわち,
![{\displaystyle p(D)x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5e55744128a225a7db8c4ec2ac8cb5371797ac)
(3.12)
![{\displaystyle x(t_{0})=\xi _{1},x'(t_{0})=\xi _{2},\cdots ,x^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2faf21d4c4141e8d5d02a6a78b891203f1cb96c1)
の解法を与えることができる.
[定理 3.3]
式 (3.12) の解は,
![{\displaystyle p(D)y=f(t+t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bea003bf5e625433732f64604b9739c931b262)
(3.13)
![{\displaystyle y(0)=\xi _{1},y'(0)=\xi _{2},\cdots ,y^{(n-1)}(0)=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86faa8d3277e783c59a73737428df2dc6c5b0b14)
の解を
とするとき,
で与えられる.
証明
式 (3.13) の解を
とする.
そうすれば,定常性の原理 Ⅱにより,
![{\displaystyle x(t)=y(t-t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953d1a977b6459982b7ef14d30e180e36f8b816b)
は式 (3.12) を満足し,しかも,
![{\displaystyle x(t_{0})=y(0)=\xi _{1},\cdots ,x^{(n-1)}(t_{0})=y^{(n-1)}(0)=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a95a57abceaaf8e7c396a04747f8f5827104f8f)
となる[1].
例68
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta ^{2}x=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78bcb4df263e494c9c155b659dc66d62f6115e7b)
![{\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e748b95eeb6cfb1c12a7529ae9483c0892a50)
を解け.
解
![{\displaystyle y''+\beta ^{2}y=f(t+t_{0}),\quad y(0)=y'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80cc80bd1f6794de8c4b1fa88f2cc8381775d21)
を Laplace 変換すると
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[y]={\frac {{\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]}{s^{2}+\beta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0139e2adf72ec7110c1445d592c8530db716eec0)
となる.この原像は,
[2]
![{\displaystyle y(t-t_{0})=\int _{0}^{t-t_{0}}{\frac {1}{\beta }}(t-t_{0}-\tau )f(\tau +t_{0})d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0934b12cbc4f4f45440c17c7490913b7cea42633)
ここで,
を改めて
とおくと[3],
![{\displaystyle x(t)=y(t-t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {1}{\beta }}(t-\tau )f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e713ce4a07ab2d79b99d218b2db738f32ac55a66)
となる.これが求める結果である.
一般的な解放も同様である.式 (3.13) を Laplace 変換すれば,
[4]
となる.ここに
は高々
次の
の多項式である.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[y]={\frac {q(s)}{p(s)}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]}{p(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d6d8f9bede117579657038b9fa8516cf5fa1c3)
の原像を求めるため,
![{\displaystyle {\frac {q(s)}{p(s)}}\sqsubset x_{0}(t),\quad {\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc905b34f87dd8f9407c09130a26f120294e995)
とおけば,
(3.13b)
![{\displaystyle y(t)=x_{0}(t)+\int _{0}^{t}g(t-\tau )f(\tau +t_{0})d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa95dc5da71737ab506c43a1dba8b452c69dc34e)
![{\displaystyle \therefore x(t)=y(t-t_{0})=x_{0}(t-t_{0})+\int _{0}^{t-t_{0}}g(t-t_{0}-\tau )f(\tau +t_{0})d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1bb6ad70acd3efed31043ca5cc977fc38fafd61)
ここで
を
とおくと,
[5]
を得る.
原像を求める際,(3.13b) で,
[6]
とおいても誤りではない.このとき,
は,
![{\displaystyle x(t)=y(t-t_{0})=x_{0}(t-t_{0})+\int _{0}^{t-t_{0}}g(\tau )f(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10091c6227601dab3d101978fc5b8e1420253810)
となる.
例69
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau =\int _{0}^{t-t_{0}}g(\tau )f(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4442c2d2016d4c75c1e71358ca935875df9a859c)
を直接示せ.
解答例
![{\displaystyle I=\int _{t_{0}}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa6d72190576766dec374d502c66f172df44f62)
にて,
とおいて,
の変数変換を行う.
のとき,
,また
.
![{\displaystyle I=-\int _{t-t_{0}}^{0}g(\theta )f(t-\theta )d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30882afd1e8c097613bc333435d0f6a3940b26fd)
.
例70
の解は,
![{\displaystyle x(t)=e^{-a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{-a(t-\tau )}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66bea627b1d8a8ab823a48a885afbd6df4f0e05)
または
![{\displaystyle x(t)=e^{-a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a\tau }f(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23d936e138bbe519f90bac25b49de4cc1976005)
となることを示せ.
解答例
例 69 と同じ推論で解く.
にて
とおき両辺をラプラス変換すると,
![{\displaystyle sY-x_{0}+aY={\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e874fa7749b2627b6cba966333ad8f94886188)
![{\displaystyle (s+a)Y=x_{0}+{\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ba0cbda355401cb9a4358fd3b494111e4612c3)
![{\displaystyle Y={\frac {x_{0}}{s+a}}+{\frac {1}{s+a}}\cdot {\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097da48047626e9446c5e379d83df91f5f466665)
…①
①からの展開は二通りある,まず一つは,
![{\displaystyle y=x_{0}e^{-at}+\int _{0}^{t}e^{-a(t-\tau )}f(\tau +t_{0})d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1babfa18880eef60ca0c4f722e718daa232ec83)
![{\displaystyle x(t)=y(t-t_{0})=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a(t-t_{0}-\tau )}f(\tau +t_{0})d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d261ac42dd04f3f3552ffe30cdfbc49895090b9b)
とおいて,
の積分変数変換を行う.
このとき
,
のとき ![{\displaystyle \theta :t_{0}\to t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019c90cf7bb6aa91006c48825149f277060a21aa)
すなわち,![{\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{t_{0}}^{t}e^{-a(t-\theta )}f(\theta )d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f05920639282f4af6db36efb298a1037de3592)
これが解の表現の一つ.
もう一つは①から,
![{\displaystyle y=x_{0}e^{-at}+\int _{0}^{t}e^{-a\tau }f(t+t_{0}-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31cf4b514461370f981007592060d4ecd954024)
よって ![{\displaystyle x=y(t-t_{0})=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a\tau }f(t-t_{0}+t_{0}-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afefaa75861c4e399f43dcfb1dbc399faca307f5)
![{\displaystyle =x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a\tau }f(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12c058684e0efdb1758219bc25be2cff90d84e9)