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Laplace 変換を用いて微分方程式を解くとき,初期値は で与えられている必要があった.
しかし,前節で述べた定常性の原理を用いると, で初期値が与えられている場合,すなわち,
(3.12)
の解法を与えることができる.
[定理 3.3]
式 (3.12) の解は,
(3.13)
の解を とするとき, で与えられる.
証明
式 (3.13) の解を とする.
そうすれば,定常性の原理 Ⅱにより,
は式 (3.12) を満足し,しかも,
となる[1].
例68
を解け.
解
を Laplace 変換すると
となる.この原像は,
[2]
ここで, を改めて とおくと[3],
となる.これが求める結果である.
一般的な解放も同様である.式 (3.13) を Laplace 変換すれば,
[4]
となる.ここに は高々 次の の多項式である.
の原像を求めるため,
とおけば,
(3.13b)
ここで を とおくと,
[5]
を得る.
原像を求める際,(3.13b) で,
[6]
とおいても誤りではない.このとき, は,
となる.
例69
を直接示せ.
解答例
にて, とおいて, の変数変換を行う.
のとき,,また .
.
例70
の解は,
または
となることを示せ.
解答例
例 69 と同じ推論で解く.
にて
とおき両辺をラプラス変換すると,
…①
①からの展開は二通りある,まず一つは,
とおいて, の積分変数変換を行う.
このとき , のとき
すなわち,
これが解の表現の一つ.
もう一つは①から,
よって