高等学校数学II/三角関数

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ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。

復習[編集]

180°までの三角比については、数学Iで既に習っている。

180°まででは、下記のように定義した。


xy 座標平面上に、原点を中心にして半径 1 の円を取る。P(x, y) を円上の点とする。このとき、Pとx軸の成す角をaとすると、
である。


一般角[編集]

General angle of trigonometric functions japanese.svg
Negative general angle.svg

右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。

半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。

動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。

負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。


弧度法[編集]

ラジアン[編集]

いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。

1radian japanese.svg

半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに

となる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。

弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ)

扇形の弧の長さと面積[編集]

扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S

と表せる。

象限[編集]

Quadrant japanese.svg

xy座標で第1象限(しょうげん)から第4象限までの位置を、図のように定義する。

位置と象限の番号の対応の覚え方は、x軸の正方向を基準に、反時計周り(左回り)に番号が大きくなっていくと覚えればいい。

Quadrant and xy.svg

それぞれの象限と、X、Yの値との関係は、左図のとおり。


一般角をつくる動径OPが原点Oのまわりを回転をする場合、一般角とそれぞれの象限の位置関係の例は、図のようになる。

Quadrant and general angle japanese.svg


公式[編集]

このとき、

が成り立つ。実際、180°足されたときPは、Q(-x, -y) に移動し、Q を表す角がa + 180°で表されるからである。

  • 問題例
    • 問題
  • ::
    を計算せよ。
    • 解答
    角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
    が得られる。
    同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
    となる。よって、
    が得られる。

三角関数のグラフ[編集]

sin と cos のグラフ[編集]

Sin and cos general angle introduction.svg

角θの動径と単位円との交点を P(x,y) とすると、右の図のように

sinθ=y、  cosθ=x

となる。

このことを利用して関数

y=sinθ、 および y=cosθ
Circle cos sin.gif

のグラフを書くことができる。

Y=sin(theta).svg
Y=cos(theta).svg


cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に だけ平行移動したものである。

y= cos θ や y= sin θ の形をした曲線のことを 正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。


tan のグラフ[編集]

Tangent function introduction.svg

右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、 直線OPと 直線x=1 との交点を T とすると、 Tの座標は

T (1, tan θ)

になる。

このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。


y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
Y=tan(x).svg

y=tan θ のグラフでは、θの値が に近づいていくと、 直線 に限りなく近づいていく。

このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 (ぜんきんせん)という。

同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。

は y=tanθ の漸近線である。


一般に、

直線   (nは整数)

はy=tanθのグラフの漸近線である。


周期関数[編集]

関数 に対して、0 でない実数 が存在して、 となるとき関数 は周期関数という。実数 が上の性質を満たすとき、 など、実数 を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。

は周期を とする周期関数であり、 は周期を とする周期関数である。


演習問題

を0でない実数とする。関数 の周期を言え

解答

なので答えは 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。

偶関数と奇関数[編集]

関数 を満たすとき、関数 は偶関数という。偶関数は 軸に関して対象なグラフになる。

また、関数 を満たすとき、関数 は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。

関数 ( は整数)は偶関数となる。

関数 ( は整数)は奇関数となる。

演習問題

tanθは偶関数かそれとも奇関数か調べよ。

解答

なので、 tanθは奇関数である。

いろいろな三角関数[編集]

Y=sin(theta-pi div 3).svg

関数 のグラフは、のグラフを θ軸方向に だけ平行移動させたものになり、周期は である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は のままである。)



Y=2sin(theta).svg

関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。

ー1 ≦ sin θ ≦ 1  なので、

値域は  ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2  である。



Y=sin(2 theta) and y=sin(theta).svg


関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 倍に縮小したものになっている。

したがって、周期も 倍になっており、y=sinθ の周期は だから、y=sin2θ の周期は である。

加法定理[編集]

三角関数の加法定理

が成り立つ。

証明

任意の実数 に対し、単位円周上の点 をとる。このとき、 線分 の長さの2乗 は余弦定理を使うことにより

である。次に三平方の定理を使って

これを整理して

を得る。

である。

以上をまとめて

を得る。

ここで、

[1]

さらに、 についても

が成り立つ。

倍角の公式[編集]

加法定理を用いて以下が証明できる。


次に、 の倍角の公式を変形すると

である。


演習問題

  1. を求めよ
  2. を示せ

解答


今までの定理をまとめると、次のようになる。

三角関数の加法定理
2倍角の公式
半角の公式

三角関数の合成[編集]

三角関数の和

において、 のとき

であるので、点 は単位円周上の点なので、

となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。

演習問題

  1. の形に変形せよ。
  2. の形に変形せよ。ただし

解答

  1. より

  1. [2]ここで、 である。 となる として がある。[3]したがって、

和積公式と積和公式[編集]

三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和積公式、および積和公式が得られる。それぞれ

積和公式
和積公式

となる。

導出
積和公式の最初の式の右辺に、三角関数の加法定理を用いると、
が得られる。
他の積和公式も同様に右辺に加法定理を適用することで示される。
また、積和公式の最初の式
に、x → (x +y )/ 2, y → (x -y )/ 2 の置き換えをすると
より
となり、和積公式の一番上の式が得られる。
残った和積公式の式も同様に積和公式のそれぞれの式に対し x → (x +y )/ 2, y → (x -y )/ 2 と置き換えることで得られる。

三角関数の基本公式[編集]

  • 周期性(n は整数)
  • 偶関数、奇関数
  • 問題例
    • 問題
    (i)
    (ii)
    (iii)
    の値を求めよ。
    • 解答
    (i)
    (ii)
    (iii)


楽器の音と三角関数
音も波の一種なので、三角関数で表現できる。

オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。

しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。

これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。

大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。


数学者オイラー
オイラー(Euler)

ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい) 複素数に拡張した指数関数、三角関数では という関係式が成り立つ。ここで、 を代入すると となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。



演習問題[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある
  2. ^ こう変形することで、点 が単位演習上の点になる
  3. ^ ここで、 は問題文の制約を満たすように選ぶ。 の整数倍を足した を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも は簡単なものを選んだ方がいいだろう。
ウィキバーシティ
ウィキバーシティ三角関数の学習教材があります。