ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。
半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。
動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。
負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。
いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。
半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに
![{\displaystyle {\begin{aligned}1^{\circ }&={\frac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} \\\\1\,\mathrm {rad} &={\frac {180}{\pi }}^{\circ }\approx 57.3^{\circ }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b70e66fbaf50c0a770edb97d679468a727ca99)
となる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。
弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ)
扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&=r\theta ,\\\\S&={\frac {1}{2}}r^{2}\theta ={\frac {1}{2}}rl\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f4e7a1b9c6a9f033502e103cee3c46bd58b2c5)
と表せる。
一般角が
の半直線と単位円が交わる円を
とする。このときの
の座標を
とすることで、関数
を定める。また、
とすることで関数
を定める。
は一般角が
の動径の傾きに等しい。
はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。
また、三角関数の累乗は
と表記される。
cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に
だけ平行移動したものである。
や
の形をした曲線のことを 正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。
関数
の値域はどちらも、
である。
右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、
直線OPと 直線x=1 との交点を T とすると、
Tの座標は
- T (1, tan θ)
になる。
このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。
y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
y=tan θ のグラフでは、θの値が
に近づいていくと、
直線
に限りなく近づいていく。
このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 (ぜんきんせん)という。
同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。
![{\displaystyle \cdots ,\quad \theta =-{\frac {3}{2}}\pi ,\quad \theta =-{\frac {1}{2}}\pi ,\quad \theta ={\frac {1}{2}}\pi ,\quad {\frac {3}{2}}\pi ,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7548b34f859dbb208a0b5787404bf1c666bdd50a)
は y=tanθ の漸近線である。
一般に、
- 直線
(nは整数)
はy=tanθのグラフの漸近線である。[1]
一般角が
の動径は一回転しても等しいので、一般角が
の動径と等しい。これより三角関数の周期性
を得る。
点
を
回転した点
は原点を中心に点対称移動した点
であることから
を得る。
点
を
軸で線対称移動移動した点が
であることから
を得る。
- 問題例
- ::
- を計算せよ。
- 角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=-y\\&=\cos(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&=-\sin \theta \\y'&=x\\&=\sin(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&=\cos \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a8bc38a467cc90b85efbd7fdc10bd462b8088c)
- が得られる。
- 同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}x''&=y\\y''&=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7613d0196b39ed070a5696e6e92d9251ab7da164)
- となる。よって、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\frac {\pi }{2}}-\theta )&=\cos \theta \\\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )&=\sin \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed17a58795ab25902f721891d2854e8e8793c78)
- が得られる。
単位円周上の点
から原点までの距離は 1 なので、
が成り立つ。
また、この式に、
つまり、
を代入すれば、
が成り立つことがわかる。
関数
に対して、0 でない実数
が存在して、
となるとき関数
は周期関数という。実数
が上の性質を満たすとき、
など、実数
を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数
の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。
は周期を
とする周期関数であり、
は周期を
とする周期関数である。
演習問題
を0でない実数とする。関数
の周期を言え
解答
なので答えは
。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。
関数
が
を満たすとき、関数
は偶関数という。偶関数は
軸に関して対称なグラフになる。
また、関数
が
を満たすとき、関数
は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数
(
は整数)は偶関数となる。
関数
(
は整数)は奇関数となる。
- 演習問題
は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
解答
![{\displaystyle \tan(-\theta )={\frac {\sin(-\theta )}{\cos(-\theta )}}={\frac {-\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=-{\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=-\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530d19ff8486dc51c6e4fd10f039a443bb44be1b)
なので、
は奇関数である。[2]
関数
のグラフは、
のグラフを θ軸方向に
だけ平行移動させたものになり、周期は
である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は
のままである。)
関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。
ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、
値域は ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。
関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に
倍に縮小したものになっている。
したがって、周期も
倍になっており、y=sinθ の周期は
だから、y=sin2θ の周期は
である。
三角関数の加法定理
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9d06bdb46fcc47ffc4c700402ec6db1326a997)
が成り立つ。
証明
任意の実数
に対し、単位円周上の点
をとる。このとき、 線分
の長さの2乗
は余弦定理を使うことにより
である。次に三平方の定理を使って
これを整理して
を得る。
である。
以上をまとめて
を得る。
ここで、
[3]
さらに、
についても
が成り立つ。
加法定理を用いて以下の2倍角の公式が証明できる。
次に、
の2倍角の公式を変形すると
である。
ここで
を
に置き換えると、
である。(半角の公式)
この式は
どちらの形でも多用する。
演習問題
を求めよ
を示せ
解答
今までの定理をまとめると、次のようになる。
三角関数の加法定理
|
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c194c2ea183bd2721b758465a4b03aa0e4d1d54)
|
2倍角の公式
|
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\alpha &=2\sin \alpha \cos \alpha \\\cos 2\alpha &=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\\\tan 2\alpha &={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb0cab483f32c409288eea5f7849fc1cde2373f)
|
半角の公式
|
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&={\frac {1-\cos \alpha }{2}}\\\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&={\frac {1+\cos \alpha }{2}}\\\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&={\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064ed2b133c712466ad9e4da813e599a0e7abcfc)
|
覚え方
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
の倍角の公式
は
という形を覚えて
は符号が
、1 の符号はその逆と覚えます。
半角の公式
は、
という形を覚えて、
は符号が
と考えます。
三角関数の和
![{\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328b1de4daa6919367f3eacf253c09ebf9390caa)
において、
のとき
であるので、点
は単位円周上の点なので、
![{\displaystyle {\begin{cases}\cos \alpha ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \alpha ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777c020e69e24d43dda99b5179243763c59e7b46)
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\sin \theta +b\cos \theta &={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin \theta +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos \theta \right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\theta +\alpha \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a90b1ea1859bafe21ff13f6254e2ffd70cb65f)
この式はサイン(正弦関数)に合成するので正弦合成と呼ぶ場合がある。
これに対し、コサイン(余弦関数)に合成する場合は余弦合成と呼ばれる。
演習問題
は
を満たすとする。
を
の形に変形せよ。
を
の形に変形せよ。
解答
より
[4]ここで、
である。
となる
として
がある。[5]したがって、![{\displaystyle 2\cos \theta -2\sin \theta =2{\sqrt {2}}\cos \left(\theta +{\frac {\pi }{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1812236466cdbebb80d5866c52f9712d5b73add2)
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ
- 積→和の公式
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \sin \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\}\\\sin \alpha \sin \beta &=-{\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479af8d8d1a3c15c75f774a705a0bef65164508)
- 和→積の公式
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin A+\sin B&=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\sin A-\sin B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9157a656777916143de9f83bdc11c388f76a48e3)
となる。
- 導出
加法定理
![{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600b028031a41e3d9e37fcd38c2af048374d496d)
(1)
![{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca984ef80ae887bf3acd34b146b04de6a5c98482)
(2)
![{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc293268efaf69be2b7e0c4173c39d86f4945373)
(3)
![{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8979f338461381963888cd1af1f0bd90a7e7d0bb)
(4)
から、 (1) + (2) より
![{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}(\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037578afce34bd1b6ca59e9f9ad48da6c6ba1089)
(1) - (2) より
![{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}(\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7449933a90dacc8c20b5fef5b2f6b5d872e5ea83)
(3) + (4) より
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d270008f79ac60a5f08ba092779d26a005b34d)
(3) - (4) より
![{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b06582ce65d6488b80ec1c2304acc3fbecacbc4)
が得られる。
とおくと、
である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin A+\sin B&=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\sin A-\sin B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9157a656777916143de9f83bdc11c388f76a48e3)
が得られる。
覚え方
積→和の公式は、上2つは
と
を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。
の公式は
の公式の符号を2つ
にしたものになっている。
和→積の公式は、
の式は
の公式の
と
を逆にした形になっている。
- 問題
を示せ。
- (右辺)
![{\displaystyle ={\frac {\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta }{\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db23b99b76e975be69c379c06296d503e52bf937)
2倍角・半角の公式
![{\displaystyle ={\frac {\sin 2\alpha +\sin 2\beta }{\cos 2\alpha +\cos 2\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90bab97da72c3fdc403bfd936bd1ddab4ac8ce2)
和→積の公式
![{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb93583d92510da75517a99ca5709f742f05c1fe)
![{\displaystyle =\tan(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c4d643eb553ed14474f5db747c358795b5682c)
- (右辺)
![{\displaystyle ={\frac {{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\cdot {\frac {1}{\cos ^{2}\beta }}+{\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}\cdot {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}{{\frac {1}{\cos ^{2}\beta }}-{\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}\cdot {\frac {\sin ^{2}\beta }{\cos ^{2}\beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b7c1a3ffba4ceda7590bcc5804e60f5e49a133)
![{\displaystyle ={\frac {\tan \alpha (1+\tan ^{2}\beta )+(1+\tan ^{2}\alpha )\tan \beta }{1+\tan ^{2}\beta +(1+\tan ^{2}\alpha )\tan ^{2}\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df420dae53941f655125228a3f8d985d92fd0f0)
![{\displaystyle ={\frac {\tan \alpha +\tan \beta +\tan \alpha \tan \beta (\tan \alpha +\tan \beta )}{1-\tan ^{2}\alpha \tan ^{2}\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530100886c9eaa20040522b9aee98777a09c26c4)
![{\displaystyle ={\frac {(\tan \alpha +\tan \beta )(1+\tan \alpha \tan \beta )}{(1+\tan \alpha \tan \beta )(1-\tan \alpha \tan \beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd73176c3d47fa31ece8b69d612123eb4f55ce39)
![{\displaystyle ={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b244c1cf7c9924dcf68ca6fbdc1b70bc391265)
![{\displaystyle =\tan(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c4d643eb553ed14474f5db747c358795b5682c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96814f425d4dcd7c91c3dae7c456bc75d5910767)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e93559166f2eeda5d7d5bec7f74e35c4ff1a090)
![{\displaystyle \theta +\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13556564fc6ef7ed3685bb90499f866b7e58b42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d2468341a54f1d6e510bcb44c683778990a3ca)
(補角の公式)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a798e37f6c85f1e3bd716e4541e8b12b34bb61)
![{\displaystyle \theta +{\frac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a201752dba0c22656bfd8a368c466e1b6582b214)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=\cos \theta \\\cos \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=-\sin \theta \\\tan \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=-{\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26607763d391163d680424812d781865fe1f7fc6)
(余角の公式)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=\cos \theta \\\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=\sin \theta \\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&={\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a851ebfa72a598d6be2bf64bcabb5b23bdac1f4b)
- 問題例
- (i)
![{\displaystyle \sin {\frac {10}{3}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613bb10cf290eab555e8884d70f57bb68bc9826e)
- (ii)
![{\displaystyle \cos \left(-{\frac {11}{4}}\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f11e448e4196ae3e707aa9bc4b60735d7fba02d)
- (iii)
![{\displaystyle \tan {\frac {31}{6}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba67e06ebd672e4ee0900878e615e6dd98d5f94e)
- の値を求めよ。
- (i)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {10}{3}}\pi &=\sin \left({\frac {4}{3}}\pi +2\pi \right)=\sin {\frac {4}{3}}\pi \\&=\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\pi \right)=-\sin {\frac {\pi }{3}}\\&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7715447de3e9a96c65b4db0625fd556c93183b99)
- (ii)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(-{\frac {11}{4}}\pi \right)&=\cos {\frac {11}{4}}\pi =\cos \left({\frac {3}{4}}\pi +2\pi \right)\\&=\cos {\frac {3}{4}}\pi =\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=-\cos {\frac {\pi }{4}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150809cf3078229815507a910fc7373f01e46bff)
- (iii)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {31}{6}}\pi &=\tan \left({\frac {7}{6}}\pi +2\pi \times 2\right)=\tan {\frac {7}{6}}\pi \\&=\tan \left({\frac {\pi }{6}}+\pi \right)=\tan {\frac {\pi }{6}}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32de341b5b868119c7c3471054c4e7f273bb023c)
楽器の音と三角関数
音も波の一種なので、三角関数で表現できる。
オシロスコープで 音叉 の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。
しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。
これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。
- 大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。
(1)下の度数法で表された値を弧度法で表せ
1)
2)
(2)
の値を求めよ
(3)
のグラフをかけ。
(4)以下を示せ。
1)
2)
(5)
を
の形で表せ。
(6)
が成立するように
を定めよ。
(7)以下の式について、和の形であれば積の形に、積の形であれば和の形に変形せよ。
1)
2)
(8)
とする。
1)
としたとき、
を
の式で表せ。
2)
の範囲を求めよ。
3)
の最大値・最小値を求めよ。
- ^ 高校・大学入試では使われないが、
として定義される三角関数を使うところもある。これらの関数はそれぞれ、セカント、コセカント、コタンジェントと呼ばれる。
- ^ 一般に、関数
に対し、
が偶関数か奇関数か調べるには
が
または
のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数
は偶関数でも奇関数でもない。
- ^ 「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある
- ^ こう変形することで、点
が単位円周上の点になる
- ^ ここで、
は問題文の制約を満たすように選ぶ。
に
の整数倍を足した
を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも
は簡単なものを選んだ方がいいだろう。