高等学校数学I/図形と計量

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本項は高等学校数学Iの図形と計量の解説です。

図形と計量[編集]

三角比[編集]

ここでは、三角比(さんかくひ)と、それを用いた定理を扱う。

  • 三角比とは

高校でならう三角比には

正弦(せいげん、sine サイン)
余弦(よげん、cosine コサイン)
正接(せいせつ、tangent タンジェント)

がある。

正弦、余弦、正接[編集]

たとえば、2つの直角三角形において、直角以外のある1つの角の大きさが等しいとき、その2つの三角形は相似であるといえる。このとき、相似な2つの三角形の角の大きさはそれぞれ等しい。また3辺それぞれの長さは定まらないが、3辺の長さの比は等しくなる。これらのことから、直角以外の角度は辺の長さの比によって特徴づけられるといえる。

実際に考えてみよう。ある直角三角形において、その角のうち直角でない角の1つの大きさを、 として、相対する辺の長さをとする。更に、最も長い辺、つまり直角三角形の斜辺の長さをとし、それ以外の辺の長さをとする。

r,a,b,cの定義

(ピタゴラスの定理(「三平方の定理」とも言う)から、が成り立つことに注意せよ。)

このとき、直角以外の角度であるは、前に述べた通り、辺の長さの比によって特徴づけられる。これらの辺の長さの比の3種類の比の値をそれぞれ

というのである。すなわち、sin r は、

で与えられる。 同様に、

で、 cos r, tan r も定義する。

覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味な説明だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応する量がであり、筆記体のcに対応する量がであり、筆記体のtに対応する量がである。

Sinの定義.pngCosの定義.pngTanの定義.png

この定義から、,, について次の性質が成り立つ。

  • 証明

は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和がであるため。)このため、に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。

定義の範囲の拡張[編集]

ここまでで、の条件を満たす角度rに対して、正弦、余弦、正接を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、までの範囲で正弦、余弦、正接を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。

まず、原点を中心とした半径1の円(単位円)を描く。第1象限に属する円上の1点をA(a,b)とし(よって、a>0, b>0)、x軸の正の向き(原点より右側)の半直線と線分OAによって作られる角をxとする(よって)。このとき、Aからx軸に向かって垂直に下ろした点をBとすると、三角形OABは角OBAを直角とする直角三角形である。

単位円を使って定義された、鋭角における三角関数

ここで、 ,, の値はそれぞれ、

,, と表せる。

OAは円Oの半径なのでOA=1である。よって

,, といえる。


次に、Aを円に沿って第2象限へ移動させる。先ほどと同様に、x軸の正の向きの半直線とOAによって作られる角をxとする。このときとなるため、角x側に直角三角形を作ることはできない。

単位円を使って定義された、鈍角における三角関数

ところが、のときも、先に述べた式の値を考えることはできる。そこで、このときも

,, と定義する。

ところで、のとき、Aはy軸上にあるためx=0となる。よっては、となってしまうため定義されない。


以上より、を満たす角xの正接、正弦、余弦の値は、単位円上に点A(a,b)をとり、

,, として求められる。


なお、実際には、この定義は任意の角に対して適用できるが、このことは高等学校数学IIの学習範囲である。

また、図形的な性質を用いると、のとき次の性質が成り立つ。

  • 証明

90 + xという角は、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。

90度に対する三角比.png

この時、図から90 + xに対応する正弦は、xに対する余弦の大きさに等しい。90 + xに対応する余弦は、xに対する正弦の大きさに等しく、符号が負になっている。

180 - xという角も、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。

180度に対する三角比.png

この時、対応する正弦が等しく、余弦が大きさが等しく符号が負になっていることがわかる。正接の関係式は、

を用いれば、前の2式から得ることが出来る。この式については後述する。

三角比の相互関係[編集]

ここまでで、直角三角形を用いる場合と単位円を用いた場合に、三角比の定義を行った。これらの式はそれぞれ、

の関係を満たす。実際直角三角形の場合の定義の式を代入すれば、

となり、上の関係は成立する。これ以外にも三角比には角の大きさに関わらず成立する相互関係があり、これらの関係を用いてある1つの三角比から他の三角比の値を求めることができる。もちろん、直角三角形については1つの三角比を指定することで三角形の形は相似形の自由度を除いて決定されるため、この結果は必然であるのだが。

  • 問題

恒等式

が得られることを示せ。(は、それぞれ という意味である。)

  • 解答

上で得たような直角三角形を考えると、

となっている。

このとき、三平方の定理より、について、

が成り立つ。 ここで、両辺を で割ると、

となり、求めたい式が示された。

さらに、の両辺をで割ると、

が得られる。

  • 問題

のときの, の値を求めよ。ただし、を満たすとする。

  • 解答

を代入すると、

さらに、では、となることに注目すると、

となる。 さらに、に代入すると、

となる。

  • 問題

3つの角の角度がそれぞれ

とするそれぞれの直角三角形の辺の長さの比を用いることで、

直角三角形の例.png

に対して、の大きさを求めよ。

  • 解答

の直角二等辺三角形では、斜辺が一番長く、その長さは他の辺の長さの倍である。このことを用いると、

が得られる。

の直角三角形では、辺の長さの比は、短い順から、となっている。このことを用いると、

が得られる。
  • 備考

これらの角度の三角比はよく用いるので、必要なときに即座に導出できるようにしておくべきである。一方で、三角比はこれらの角でなくとも任意の角で定義できる概念であることも忘れてはならない。なお、これらの角以外の角の三角比の値が必要な場合は、いくつかの例外を除けば正確な値をきれいな形で表記することは困難であり、教科書巻末などに載っている三角比の表を用いることになる。

三角比のかかわる定理[編集]

正弦定理、余弦定理[編集]

ここでは、正弦定理(せいげんていり)と余弦定理(よげんていり)という2つの定理を扱う。これらは三角比を用いた定理であり、任意の三角形について成立する定理である。

正弦定理[編集]

最初に正弦定理を使う。三角形の辺の長さがa,b,cと与えられ、相対する角の大きさがA,B,Cと与えられるとき

が成り立つ。ここで、 R は、三角形の外接円の半径である。

  • 導出

最初に三角形が直角三角形であるときについて考える。直角三角形で,の角をCとおき、対応する辺をcとする。このとき、外接円の半径をRとすると、

が成り立つ。よって、角Cについて正弦定理が確かめられた。辺aについても図の三角形が直角三角形であることを用いると、

が成り立つ。Bについても同様である。よって、三角形が直角三角形であるとき、正弦定理は示された。

次に三角形が鋭角三角形であるときを考える。特に角Aに注目する。Aと同じ円周角を持つ点の中で、角CBDがになるように、点Dをとる。

鋭角三角形についての導出

このとき、三角形BCDについて、の定義から、

(角BDC = 角Aに注意。これは円周角が互いに等しいことによる。)となり、

が得られて、正弦定理が角Aについて示された。角B、角Cについても同様に示すことが出来る。


最後に鈍角三角形の場合について考える。鈍角三角形の2つの鋭角については上と同じ証明を用いることが出来る。鈍角をCと書き、角ABD= となるように点Dを取る。

鈍角三角形での導出

ここで、角BDA = - 角Cが成り立つ。(これは円に内接する四角形の相対する角a,bについてa+b =が成り立つことによる。)これを用いると、

となり、確かにこの場合も成立する。よって、全ての三角形について正弦定理が示された。

  • 問題例
    • 問題

角度が

の直角三角形において正弦定理が成り立っていることを確かめよ。 ただし、それぞれの三角形の斜辺の長さをとする。 ここで、直角三角形の外接円の直径は、 直角三角形の斜辺の長さに等しいことに注意せよ。

    • 解答

の直角三角形については、 短い辺の長さをとすると、 正弦定理は、

となる。 これは、

に対応するが、

の性質からこれは正しい。

一方、

の直角三角形については 正弦定理は、辺の長さを短い順に , とすると、

となるが、これは

に対応するが、もともとの三角形の性質からいって、 このことは確かに成立している。

余弦定理[編集]

ある三角形の3辺の長さが分っているとき、その三角形は一意的に決まる。そのため、3つの辺の長さを用いて、おのおのの角の大きさを表わすことが出来る。

A,B,C,a,b,cの定義

図のような定義を用いると

が成り立つ。これを余弦定理(よげんていり)と呼ぶ。

逆に、2つの辺の長さとあいだの角の大きさから、のこりの辺の長さを求めることが出来る。

これらの式は、それぞれ対応する式を、a,b,cについて解いたものになっていることに注意。

  • 導出

上の絵で、点Bから線分ACに対して垂線を下ろし、垂線と線分ACがぶつかった点をHと呼ぶとしよう。

このとき、CHの長さはa cos C と表わせ、BHの長さはa sin C と表わせる。三角形ABHについて三平方の定理を用いると、

となり、求めたい式に対応した式が得られた。頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。

  • 問題例
    • 問題

三角形ABCについて、辺の長さ

のとき、辺ACの長さを余弦定理を用いて求めよ。

問題例の三角形.png
    • 解答

余弦定理

を用いると、

が得られる。

よって、

が得られる。


    • 問題

上で得られた三角形で

も計算せよ。

    • 解答

元々の条件で三角形ABCは、2辺AB,BCとその間の角

が知られていた。そのため、この三角形は完全に決まっており、それぞれの角の大きさも知られるはずである。

それぞれの角の大きさを計算するためには、角の大きさのための余弦定理を使うのがよい。ただし、2つの角の大きさが求められたら、3つめの角は余弦定理によるまでもなく、

三角形の3内角の和 =

によって計算することが出来る。

まず、角Aを求める。余弦定理を用いると、

となる。

を満たす角度は簡単な形で表すことはできないが、平方根の表と三角比の表を用いておおよその値を知ることは出来る。また、

とすると、角Cは、

で与えられる。

具体的にaのおおよその値を求めてみる。平方根の表よりなので、であり、三角比の表でこれに近い余弦の値を探すことで、

が得られる。

    • 問題

三角形ABCについて、3辺の長さ、3角の大きさのうち、いくつかの量が与えられているとする。このとき、与えられた量以外の量を計算せよ。

(i)

(ii)

(i)の三角形.png
(ii)の三角形.png
    • 解答

(i) 余弦定理によって、

よって、

が得られる。

また、正弦定理を用いると、

が得られるが、この値を用いて

を定めることができる。(余弦定理を用いて計算することもできる。 )実際に計算すると、

が得られる。

(ii) 三角形の内角の和が

であることを用いて、

が得られる。さらに正弦定理を用いると、

が得られる。これを解くと、

となる。

の値は、最も簡単な計算法は高等学校数学IIで与えられる。詳しくは高等学校数学II いろいろな関数を参照。答えは、

である。この値を用いると、

となる。

図形の計量[編集]

相似形の面積比、体積比[編集]

長さの比が2倍になると面積は4倍になる。一般に、長さの比が 倍になると面積は 倍になる。長さの比が2倍になると体積は8倍になる。一般に、長さの比が 倍になると体積は 倍になる。

球の表面積、体積[編集]

球の表面積をSとして、体積をVとするとき

と表せる。

三角形の面積公式[編集]

三角形の2辺a,bとその間の角Cが与えられているとき、三角形の面積Sは、

で与えられる。

  • 証明

辺aを三角形の底辺と見たとき、三角形の高さは、で与えられる。よって、三角形の面積公式から、

が得られる。

  • 問題例
    • 問題

a=2,b=3,c=60の時、この三角形の面積Sを求めよ。

    • 解答

上の公式を用いると、

となる。


  • 発展的な内容 ヘロンの公式

w:ヘロンの公式とは、三角形の3辺の長さを用いて、その三角形の面積を表す公式である。三角形の3辺を定めれば三角形は一意に決まるため、当然面積は確定するのだが、その値を具体的に計算する方法を与えるのがヘロンの公式である。

ヘロンの公式は次のように与えられる。三角形の3辺の長さをそれぞれ、a,b,cとする。このとき、

とするとき、三角形の面積Sは、

で与えられる。

  • 証明

余弦定理を用いると、角Aの大きさは、

となる。ここで、は、

ここで、三角形の面積Sは、

となり、ヘロンの公式が示された。

ヘロンの公式は、三辺の長さやsの値がきれいな整数値となる場合、面積を簡単に求めることができて便利である。一方で、これらの値がキリの悪い値になる場合はあまり便利ではない。これに限らずどの数学公式もそうであるが、用いることで便利になる状況を見極めたうえで用いるのが重要である。