高等学校数学II/微分・積分の考え

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高等学校数学II > 微分・積分の考え


本項は高等学校数学IIの"微分・積分の考え"の解説です。


微分・積分の考え[編集]

微分係数と導関数[編集]

微分係数[編集]

関数f(x)に対して、 を、f(x)の、x=aにおける極限(きょくげん)とよぶ。 の極限とは直観的には、xをaに極めて近い数にすることである。極限はたいていf(a)に一致するが、そうでない場合もある。一致する場合としてはたとえば、 となる。しかし、グラフがちぎれているような場合、f(x)の、x=aにおける極限とf(a)は必ずしも一致しない。

極限が存在しない例


関数f(x)に対して、

をf(x)のaにおける微分係数(びぶん けいすう)とよぶ。また、導関数f'(x)を、

で定義する。ここで、f'(a)は、aにおけるfの微分係数と等しくなる。これを示すには、微分係数の定義の式で、 , とおけばよい。

簡単な場合に導関数の値を求めてみる。

となる。

導関数
  •  の導関数は 
  •  の導関数は 
  •  の導関数は 
  • は定数) の導関数は 

和の導関数・差の導関数・実数倍の導関数[編集]

aを実数として、fとgを微分可能な関数とするとき

が成り立つ。


  • 問題例
    • 問題

1.
2.
をそれぞれ微分せよ。

    • 解答

1.

2. であるから

導関数の応用[編集]

接線[編集]

導関数は関数f(x)の接線の傾きに対応する。 例えば、 という量をある小さい数hについて考えると,これは、fの地点xでの傾きにおおよそ等しい。 このことからhを限りなく小さくしたとき に対応する量が得られることが期待できる。 もっとも実際にはそうでない場合もある。 仮にx = aという特別な点で、f'(a)が得られたとした場合、得られた値をf(x)のx=aにおける傾き(かたむき)とよび、 y- f(a) = f'(a) ( x - a) によって表わされる直線を f(x)のx=aにおける接線(せっせん)と呼ぶ。

関数値の増減[編集]

f'(x)は、fの傾きを表わすので、 の点では、fは増大し、 の点では、fは減少することがわかる。 もちろん簡単にf'を求める手段が無ければ、これはほぼ無意味なことであるが、実際には多くの場合少ない手順でf'を求めることが出来るので、この関係は重要になることが多い。

三次関数のグラフ[編集]

三次関数は

の形で表され、それをxで微分すると

となる。このに0を代入して

xについて解すると

となり、ここでとおく。

のとき

のときは、より増加、より傾きが0、より減少、より傾きが0、より増加となる。

逆にのときは、より減少、より傾きが0、より増加、より傾きが0、より減少となる。

  • 例、

両辺をxで微分すると

を代入するととなり、より増加、より傾きが0、より減少、より傾きが0、より増加となる。

(重解)のとき

のときは、より増加、より傾きが0、より増加となり、より増加となる。

逆にのときは、より減少、より傾きが0、より減少となり、より減少となる。

  • 例、

両辺をxで微分すると

を代入するととなり、より増加、より傾きが0、より増加となり、より増加となる。

が虚数解(実数解なし)のとき

のときは、より増加となる。

逆にのときは、より減少となる。

  • 例、

両辺をxで微分すると

を代入するとxに実数解を持たないので、より増加となる。


関数の極大・極小[編集]

を微分すると

増減表は次のようになる。

+

この関数のグラフは、を境にして増加から減少の状態に変わり、を境にして減少から増加の状態に変わる。
このとき、において極大(きょくだい)になるといい、そのときのの値極大値(きょくだいち)という。また、において極小(きょくしょう)になるといい、そのときのの値極小値(きょくしょうち)という。極大値と極小値を合わせて極値(きょくち)という。

積分の考え[編集]

不定積分と定積分[編集]

不定積分とは、微分の逆の演算である。つまり、

の関係は、(Cは積分定数。) F' = f の関係と同じである。このときF(x)を、f(x)の原始関数(げんしかんすう)と呼ぶ。


不定積分の値の差として得られる値を、定積分(ていせきぶん)と呼ぶ。つまり、

である。


簡単な場合について、関数の原始関数を求めてみる。 とすると、以前の結果から が成り立つことを考えると、 の原始関数F(x)は、

となることがわかる。同様に では、

となり、 では、

となる。


  • 問題例
    • 問題

をそれぞれ積分せよ。 ただし、 ,,は任意の定数である。

    • 解答

それぞれ、

が得られる。これは、それぞれの答えの式を、xで微分すると元の式が得られることからわかる。一般に関数の和の積分はそれぞれの関数を積分したものを足し合わせたものと積分定数の範囲で一致する。詳しくは高等学校数学III 積分法を参照。

定積分と微分[編集]

aを定数とするとき、定積分はxの関数になる。
関数の不定積分をとすると

この両辺をxで微分すると、は定数であるから

の導関数

面積[編集]

積分によって、グラフとx軸がかこむ面積を求めることが出来る。 面積は例えば、f(x)について、 の範囲で計算すると で表わされる。 この値は実は多くの場合 の値と 一致する。


導出

を、xの関数とする。 このとき、

を考える。この式の分子は、xより大きくx+hより小さい極めてせまい範囲で、関数f(x)の値に区間の広さをかけたものを足し合わせたものに対応する。 このとき、範囲がせまいので、f(x)の値は定数に保つことが出来ると考えられる。このとき和は、範囲だけの和となりその値はhに等しくなる。よって、 となる。 よって、S(x)と、F(x)の定義は等しくなる。


例として、 の範囲で、y = xのグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、積分を用いて計算する。 ( 実際にはこれは三角形なので、積分を用いなくても面積を計算することが出来る。 答は となる。 ) 定積分を行なうと、

となり確かに一致する。

面積(1)

 で、  のとき、

  • 問題例
    • 問題

放物線とx軸および2直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

    • 解答

この放物線はでx軸の上側にあるから、




 において、常に  であるとき、2つの曲線  に挟まれる部分の面積Sは、次の式で表される。

面積(2)

 で、  のとき、

  • 問題例
    • 問題

放物線と直線によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。

    • 解答

放物線と直線の交点のx座標は

の範囲でより




 で、  のとき、x軸と曲線によって挟まれていると考えられるので、

となる。

面積(3)

 で、  のとき、

  • 問題例
    • 問題

放物線とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

    • 解答

放物線とx軸の交点のx座標は

この放物線はでx軸の下側にあるから、

(発展)曲線と 軸の間の面積[編集]

曲線と 軸の間の面積

で常に のとき、曲線 軸、および2直線 で囲まれた部分の面積

  • 問題例
    • 問題

放物線 と直線 および 軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

    • 解答

この放物線は で常に あるから、


物理学と微分積分
ニュートン

微分積分は、物理学でも運動方程式の計算などに応用されている。

1600年代、ニュートンなどの研究により、運動の法則を微分積分を使った式で表現できることが解明された。

なお、ニュートンは著書として『プリンピキア』をあわらし、その著書でニュートンは運動の法則が微分積分で表されることを述べ、力学(りきがく)の理論を進歩させた。


なお、微分積分を研究した同時代の数学者には、ニュートンの他にもライプニッツがいる。