トーク:解析学基礎/積分

積分の定義を区分求積で定義すべきでは？

この記事では、積分の定義を区分求積法で定義すべきだと思います。なぜなら、この記事は大学生を読者対象にしてるはずです。大学では一般に、積分の定義は面積分や線積分などのように、無限小の無限和にもとづいて定義されるはずです。そもそも積分の歴史的な本来の定義は、区分求積などの無限和にもとづく定義でしょう。少なくとも物理や工学などの学科での解析の授業なら、無限和で積分を定義してるでしょう。 また数学科でも、w:リーマン積分とかの定義には、区分求積による定義のほうが近いでしょう。

もし高校の数学IIの復習をWikibooksで書くなら、高校教科書の記事のほうで書くべきであり、大学用の記事（この『解析学基礎』の記事）で書くべきではありません。

たとえ微分方程式の解法として積分を「微分の逆演算」として扱う場合であっても、物理などではベクトル解析の微分方程式を扱うときには面積分や線積分など区分求積的な知識が必要ですから、区分求積を軽視できません。そもそも区分求積を知らないと、ベクトル解析での面積分やら線積分の微分方程式じたいが立式できないでしょう。

数学の理論の中には区分求積による定義にも例外がある理論などもあるでしょうが（たとえば抽象代数学などで、ありうるかも）、しかし大学数学の微分積分の入門者に教えるべき積分の定義とは、けっして微分逆演算の定義にもとづくよりかは区分求積による積分定義のほうが、遙かにマシでしょう。微分の逆演算による積分定義がありうるのは、せいぜい例外として抽象代数学での作用素として微分作用を定義するくらいだと思います。微分作用の逆元などとして抽象代数的に積分を定義する場合を除けば、まず積分の定義としての逆演算による定義は、まったく入門的な学生には相応しくないでしょう。そのような抽象代数を習うのは、大学2年あたりで微分方程式の解法として常微分作用素を習い始める頃か、あるいは群論やら環論やらを習ったあとのはずの頃であり、大学1年あたりで区分求積を習うよりも、遙かに後回しのハズです。

まだしも高校の教科書なら、授業時間の不足などの理由で、微分の逆演算として、ひとまず定義するのは仕方ないでよう（私は不満ですが）。しかし、大学生の解析学が高校レベルではオカシイでしょう。

もっとも、そもそも私は、高校での積分の定義（逆演算による定義）じたいに不満です。仮にいったん逆演算として積分を定義を導入するにしても、できれば高2の終わりごろに区分求積による再定義をして、本来の区分求積による定義を紹介するべきだと思います。そう紹介しないと高校生は疑問に思います、なんで微分の逆演算によって、なんで面積が計算できるのか、証明が不足しており意味不明だからです。だから少なくとも高3の積分の開始の頃までには区分求積による定義に移行するべきだと思います。--すじにくシチュー (トーク) 2015年3月21日 (土) 11:24 (UTC)

長々と演説されなくても、そのご指摘は明らかに正当です。きちんとしたリーマン積分の定義をここに書くべきかと思います。それは自明ですので、むしろそのための作業をどう具体的に進めるか、にお知恵をいただければと思います。

そもそもなぜこのページがこのような浅い記述かというと、ひとえに「昔の英語版の翻訳だから」です。欧米の数学教育の進度は日本と比べると最初は遅れて後で追いつく形のようですので、このような教養課程向け教科書はどうしても日本人の感覚からするとレベルが低くなります。しかも、10年前に翻訳してフォークしてしまいましたので、もしかするとその後英語版も加筆されたかもしれませんが、日本語版だけは浦島太郎で昔のままです。そのなれの果てが現状、というわけです。

それはこの「積分」に限らず「解析学基礎」全体の問題でして、したがってこのページだけでなんとかなる問題ではない気がします。たとえば、リーマン和による積分の定義やリーマン積分可能性についての議論をするためには、まず解析学基礎/極限を改善してからでないと難しい気がします。その類の問題が「解析学基礎」全体に山積していて、ちょっとどこから手を付けていいのか途方に暮れる状態なのです。というわけで、今朝別のトークページで書くようなことを言った内容も、1日考えてみて私の力量ではちょっと無理そうな気がしています。。。

というわけで、「何を書くか」ももちろん必要なのですが、できれば「どうやって書くか」という視点の建設的なご意見もいただければと思います。何かいいお知恵をお持ちではないでしょうか。--K.ito (トーク) 2015年3月21日 (土) 12:26 (UTC)