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{\displaystyle 65=5\cdot 13} 素数は無限に存在する。(参考 : w:素数が無数に存在することの証明) 証明 1 仮に素数が有限個だとすると、最大の素数 p {\displaystyle p} が存在する。このとき、全素数をかけあわせ 1 足した数を考える。すなわち、 q = 2…

{\displaystyle \{a_{n}\}} が有限個の項しかもたないとき、有限数列といい、項が限りなく続くとき無限数列という。ここでは無限数列を考えるから断りがない場合、無限数列を単に数列と書くことにする。 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} において、項の番号…

(0,1)} が全射でないことを示せば十分である。 f ( n ) {\displaystyle f(n)} の小数第n桁目を a n {\displaystyle a_{n}} と定める。（ただし、小数による実数の表示は一意ではないので、ここでは同じ実数について無限に9が続く表示と無限…

を多く準用することにより、これに含まれる。 持分会社 合名会社-無限責任を負う社員(無限責任社員)のみから構成される会社 合資会社-有限責任社員と無限責任社員から構成される会社 合同会社-有限責任社員のみにより構成されるが、原則として全社員が自ら会社の業務執行に当たる会社…

。有理数のこの性質は有理数のw:稠密性と呼ばれ、有理数の重要な性質である。これは、どんな数でも数値として書くならその値はどんな場合でも無限小数で書くことが出来、無限小数はどれほど小さい数でも有理数で書かれ循環小数を含んでいることから確かに成立するのである。このようにして、無理数はその数より小さい有理数全体の集合によってとらえられた。…

記号と法を２つ決めて定義する。 ０．空間構造を決める。群、環、体 　自然数、整数、実数、複素数、… 集合Uの全個数を#Uと記し、位数[order]という。 位数が有限個（#U≠∞）、位数が無限個（#U＝∞）の場合がある。 such that １．演算法（結合法則）を決める。通常は二項演算子 　可換(交換法則)、非可換、加減乗除、……

> 標本空間 ある実験を行ったときに、起こり得る全ての結果の集合を標本空間、または全事象という。 標本空間の要素（元）を標本点、標本空間の部分集合を事象という。 事象に含まれる標本点の数は有限個かも知れないし、無限個かもしれない。 コイン投げを1回行った時に、起こり得る結果は{表}がでるか{裏}が…

復でiの値が出力され、最後にiがインクリメントされます。 条件式が常に真の場合、whileループは無限に繰り返されます。無限ループは、特定の条件が発生するまで繰り返し処理を行う場合に使用されます。無限ループを作成するには、条件式としてtrueを指定します。 #include <iostream> auto…

太陽のまわりを運動する軌道を表わす情况であり、惑星の性質を扱う上で 非常に重要な運動である。 更に、エネルギー0よりも大きい全エネルギーを持つ物体は、rが0に近づく方向では 位置エネルギーが無限大まで存在するため、r=0となることは出来ず、適当な 位置ではねかえる。しかし、 r → ∞ {\displaystyle…

G m M R {\displaystyle -G{\frac {mM}{R}}} であり、無限円点では0である。ただし、mは宇宙船の質量とした。 一方、宇宙船が無限円点に達するには、宇宙船の速度が無限円点でちょうど0に 等しくなればよい。ここで、惑星上での宇宙船の速度をvとすると、 エネルギー保存則より、…

となり、埋めている部分が無いので、矛盾命題となる。 同値関係 読み方(⇒:ならば、 &:かつ) 推移律と等価な関係 数学の証明は厳密性を保つため「一階述語論理」を使って行う。 「無限」に関する議論も「有限」と同様にして扱うことが可能となる。 ∀:全称記号 ∃:存在記号 ∃Φ{1,2,3,4, ... ,n} このとき、以下の関係式が成り立つ…

からなる文字列」の集まりは集合である． 一つの集合には，同じ要素が重複して含まれることはない． 有限個の要素よりなる集合を有限集合(finite set)，無限個の要素より成る集合を無限集合(infinite set)という． 要素 0, 1 の二つからなる集合は { 0 , 1 } {\displaystyle \{0…

[K:F]} とは、 K {\displaystyle K} を F {\displaystyle F} 上の自然なベクトル空間とみなしたときの次元である。無限次元ベクトル空間となる場合は、 [ K : F ] = ∞ {\displaystyle [K:F]=\infty } と書く。 例 [ C : R…

) = ∞ {\displaystyle V(x)=\infty } の地点で粒子が見つかってしまうと、その地点で粒子は無限に大きいエネルギーを持っていることになってしまうが、無限のエネルギーというようなことは考えづらいので、ここでは、 x < 0 {\displaystyle x<0} , a <…

が、数学ではまっすぐに引かれた線を、細かく3つの図形として区別し、別々の用語で表すことにする。 2点を通るまっすぐな線を引くとき、その点で止まらずに無限に伸ばした線を直線（ちょくせん）という。2点を決めると、この2点を通る直線は 1本あって、1本に限る。直線が2つの点を通るとき、この直線をその 2点の名前を並べて表す。例えば…

\dim\{\mathbf {0} \}=0} であるとする。 実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる基底が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初の K n {\displaystyle K^{n}} 以外は無限次元の線型空間であるが、 K [ X ] {\displaystyle…

} や 3.1415926535 ⋯ {\displaystyle 3.1415926535\cdots } のように無限に続く小数を 無限小数（むげん しょうすう）という。 無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを 循環小数（じゅんかん しょうすう）という。例えば…

3+2\\4&=2\cdot 2\end{aligned}}} よって最大公約数は 2 であることが分かる。ユークリッドの互除法では、余りの数が着実に 1 減っているので、無限降下列を作ることはできないという自然数の性質から、必ず有限回で終わることが分かる。 これを次は、余りを主体にして書きなおしてみる。 a = 470 …

すなわち、有限集合（とX自身）を閉集合とするのである。これも位相空間の公理を満たすことが容易に確かめられる。なお、補有限位相はX自身が有限集合の場合は離散位相と一致するので、普通はXが無限集合の場合に考える。 位相空間と開集合を定義することができたので、これによって、位相空間の間の写像の連続性を定義できることになる。 定義　 ( X …

は自然数の集合の要素である」といえる。 「 27 は自然数の集合の要素である」といえる。 自然数の集合のように、集合は必ずしも要素が有限でなくても構いません（集合の要素は無限でも良い）。 （※ 範囲外？ ）なお、数学的には、区別がはっきりしさえすれば、例えば「△△高校の今の3年B組の生徒全員」等も集合として考えることがで…