数と人間

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高等学校数学基礎 > 数と人間


本稿は高等学校数学基礎の「数と人間」の解説である。ここでは数や数字について歴史などを交えながら解説することにする。

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人間はいつから数や数字を使っているのだろうか。ユーラシア大陸で最も古い文明とされるメソポタミア文明の遺跡では、既に楔形文字という文字の中に数字が登場している。このことから文字の誕生と共に数字も登場したといっても過言ではない。

イギリスの数理哲学者ラッセルは次のように言っている。「二日の二と二匹のキジの二が同じ二であることに気付くまでには、限りない年月が必要だった」と。そんな馬鹿なと思うかもしれないが、現代の人間の子どもも数の概念をあらかじめ身につけているわけではないことが、心理学者のピアジェの実験などからわかっている。また、零から三十六まで、はたまた零から百までの数字を言える子どもが、三十六個や百個の物を数えられるわけではないこともよく知られている。同じく、三十六個や百個の物を二分割、三分割、四分割、五分割、六分割…と分けられるわけではないこともよく知られている。学校で習う数字(文法的には数詞ともいう)を覚えることと、実際に物を数えたり分けたりすることができることから始まって、数の規則・法則などを理解すること、すなわち数の概念を理解することとは異なる。

大きな桁の数字・小さな桁の数字[編集]

小学校のでは万、億、兆という十の累乗数があることを習った。しかし、大きな数を表すことばはこれだけではない。江戸時代の数学書にはさらに京(けい)、垓(がい)、𥝱(じょ )、穣(じょう )、溝(こう )、澗(かん )、正(せい )、載(さい )、極(ごく )、恒河沙(ごうがしゃ)、阿僧祇(あそうぎ )、那由他(なゆた)、不可思議(ふかしぎ )、無量大数(むりょうたいすう )という数の単位があげられている。1無量大数は69ケタ(1の後に0が68個も並ぶ)というとんでもなくケタの大きい数である。

また、1より小さな数を表すことばとして、分(ぶ)、厘(りん)、毛(もう)、糸(し )、忽(こつ)、微(ぶ)、繊(せん)、沙(しゃ)、塵(じん)、埃(あい)、渺(びょう)、漠(ばく)、模糊(もこ)、逡巡(しゅんじゅん)、須臾(しゅゆ)、瞬息(しゅんそく)、弾指(だんし)、刹那(せつな)、六徳(りっとく)、虚空(こくう)、清浄(せいじょう)、阿頼耶(あらや)、阿摩羅(あまら)、涅槃寂静(ねはんじょうじゃく)とある。

さて、このようにことばで表される数は多くあるが、しかしこれらよりさらに大きい数や小さい数を考えることも可能だし(1無量大数×1無量大数=?)、また実際に自然科学において登場することもある。たとえば、物質を構成する小さな粒子、陽子の質量は1.7涅槃寂静グラム程度だが、電子はさらに小さくその1800分の1程度の質量しか持たない。そして宇宙には、これら粒子が1無量大数の1兆倍から1無量大数の1京倍程度存在すると予想されている。

このような数は、漢字を使った言葉で表そうとすると表しにくい。いま「1無量大数の1京倍」と書いたが、これではこれがどの程度の大きさのものなのかまったくわからないだろう。これを解決する安直な方法は数字を使って通常通りに表すことだが、これも便利とは言い難い。1無量大数を数字で表すと100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000、1涅槃寂静を同じように表すと0.000000000000000000000001であり、とてもこのようなものを読み書きしたり、ましてこれを使って計算する気にはならない。

このような数をきれいに扱う方法として便利なのが、指数による表示である。102=100,103=1000などというように、10nは1の後に0がn個つく数となる。これを使うことによって大きい数の表記を簡潔にすることができる。たとえば1無量大数は1068と表すことができる。数をこのように表記して計算する際に重要になってくるのが、次にあげる指数法則である。これらが成り立つことは、指数の意味を考えることで容易に確かめることができる。

指数の拡張と指数法則

m>nが自然数のとき

大きい数を表記することができたので、次は当然小さい数を表すこともできないか考えたい。そのためには、指数法則が成り立つように、指数の意味を拡張してみる。ここで次のように約束すると、上にあげた指数法則がすべての整数m,nについて成り立つことが分かる。

このようにして指数を拡張すると、小さい数も指数で表すことができる。たとえば0.1=10-1、0.01=10-2などと表すことができる。このようにして、大きい数や小さい数は指数によって簡潔に表記することができるのである。

指数に関するこれ以上に詳しい内容は数学IIに譲る。また、指数同様に計算を簡潔にする道具として役に立つ対数という概念もあるが、これも数学IIで扱う。興味のある人はそちらも見てほしい。

数の概念[編集]

1, 2, 3,…という数は古くから知られてきた。また、1/2という分数や0.123といった小数も人類の長い歴史の中で早くから使われてきた。この事は、古代エジプトのパピルス(『リンド・パピルス』)にも分数の計算が載っている事からも解る。これらの数は感覚的にも捉えることが可能であるからこそ、人類が文明を築き上げた頃にはもうこれらの数を使っていたのだろう。ところが、様々な計算などを考えていくと感覚や直感では説けない数が登場する。その最初の概念は 0 と負数である。

自然数[編集]

自然数の例として、直感的に1, 2, 3,…という数字をあげることは難しくない。古代ギリシアより読み継がれてきているユークリッド『原論』(げんろん)でも、(自然数以外の分数なども含めた)数は「無定義用語」という特に説明もされないものとして扱われている。しかし、いざ「自然数とは何か」ということを規定するとなるととたんに難しくなる。これは高校生には難しいのでここでは詳しく触れない。

なお、無を表す 0 を自然数に含める立場と含めない立場がある。日本の小中高においては0を自然数には含めないことが多いが、0を含める流儀もあり、どちらが正しいというものではない。ここでは0は含めないものとして取り扱う。

さて、少し自然数の性質を挙げる。まず、自然数はすべて 1+1+1+… と分解できる。つまり、どのような自然数も、いくつもの1の和で作れるということである。第二に、自然数はすべてその数自身が素数(そすう)か、あるいは素数同士の積に分解できる。 1とその数自身でしか割り切れない、2以上の数を素数(そすう)という。

たとえば 2 は、その数自身が素数である。
たとえば 4 は、 4=2×2 というふうに、素数である2の積に分解できる。
たとえば 3 は、その数自身が素数である。

このことについては後で再び紹介する。第三に自然数同士を足し算・掛け算しても自然数にしかならないが、引き算・割り算では自然数以外の有理数になることもある(が、無理数にはならない)。これらの性質をわざわざ述べることにばかばかしさを感じるかもしれないが、このことは「自然数とは何か」を深く考える上で非常に大切なことなのである。

整数[編集]

自然数に加えて、0 や負の整数を合わせたものを総めて整数(せいすう)という。

0(ゼロ)[編集]

自然数は、数字の登場と同じくらい歴史の古いものである。しかし、無を意味する 0 という数字が登場すること、そしてそれが数の一つとして認知されるのには時間がかかった。先ず、「~が無い」というのは理解できても、「無いもの」を書き表す数字が必要なのかという問題があった。実際、古代エジプトでは0の存在は知られていたが、0を意味する数字は発明されなかった。

一方で、早期に 0 を意味する数字を発明した地域として、インドやマヤ文明(中米)が挙げられる。アラビアやヨーロッパに伝播してやがてグローバル化した数字の 0 は、インドで生み出された数字である。1 から 9 までの九つの数字も同様である。また、マヤ数字は 0 を意味する貝殻模様、1 を意味する点、5 を意味する横棒の三種類が用いられ、二十倍ごとに桁が増えていった。インドでは十を「10」として表現したが、マヤ数字は二十を「点1個の下に貝殻模様」として表現した。この 0 記号によって、例えば{(5×2) +1}に3を6回掛けた数を、アラビア数字では「8019」、マヤ数字では「●|◎|◎|━ ━ ━ ●●●●」(100J)として空位を表現できるようになった。指趾で数える方法でも、0 は拳(指趾を閉じた状態)として表現できるので、数字を 0 から 5 までの六つにすれば、この数は三人の両手で「| ○ | ○ |||| |||」(101043)として表現できる。

さらに、0の計算は自然数同士にはない独特の規則があることが0を数として認めることへの抵抗につながった。0の計算規則を見てみよう。

  • 加法: a + 0 = 0 + a = a.
  • 減法: a − 0 = a . 0 − a = −a.
  • 乗法: a · 0 = 0 · a = 0.
  • 除法: 0 ÷ a = 0 . a ÷ 0 は不可.

足し算と掛け算の交換法則は成り立つのだが、いくら足し算をしても変化せず、どんな数をかけても0になる0の性質はなかなか理解しにくいものであった。特にヨーロッパの言語では、「足す」や「掛ける」は、「増える」に近い言葉である(現代英語の例だが「足す」はaddだが、これにtoをつけると「増す・大きくする」になり、「掛ける」のmultiplyの原義は「幾つも重ねる」という意味を持つ)から、なおさら足し算しても変わらず、掛け算をすると減る0は扱いにくいものであった。さらにゼロで割り算をする「ゼロ除算」ができないことも0の特殊な性格の一つである。

さて、ここで0で割ることができない理由を考えてみよう。まず、ウィキペディアの「W:ゼロ除算」にあるものを紹介する。

以下を前提とする。

このとき、次が成り立つ。

両辺をゼロで割り算すると、次のようになる。

これを簡約化すると次のようになる。

このように1 = 2という自然数の前提をぶち壊す結果になる。種明かしをすると、先の計算では0/0 = 1としたのが誤りの理由であった。では0/0 = 1としなければよさそうに見えるが、これもうまくいかない。なぜなら、

この両辺をゼロで割り算すると、

となり、都合がよさそうに見えるが、

に同じ操作を行うと

になる。つまり、0/0はなんでもいい数となってしまう。このことから、ゼロの割り算は正確には「未定義」であるという 。

負数[編集]

自然数の頭に-(マイナス)を付けた物を負数(ふすう)といい、負数は0より小さい数として扱われる。いまでは天気予報の気温でもよく耳にするし、中学校から本格的に負数の計算も学ぶ。

負数は中国では紀元前100年ごろの数学書『九章算術』で扱われていた。また、インドでは7世紀ごろには負数が使われていたという。しかし、ヨーロッパでは負数が数の一部として認められるのにはかなり時間がかかった。このことを示すものとしてよく話題に上るものは、17世紀の数学者であるパスカルの著書『パンセ』の中にある「私は0から4を引けば0であることのわからぬ人を知っている」という言葉である(ただし、パスカルが本当に負数を理解していなかったのかはわからない)。

さて、ヨーロッパに負の数が紹介されたとき負の数は「借金」として紹介された。例えば、0-1000=-1000だが、これは「無一文の状態で1000円借りた」ことになる。さらに-1000+1000=0なら「1000円の借金があるところで1000円の収入があったので返済したら借金も財産もない状態に戻った」ことになる。このように、負数を「借金」、正数を「財産」として理解するのは、足し算や引き算では都合のよいことであった。

しかし、掛け算(および割り算)では「借金」というとらえ方では不都合が起きる。-1000×2=-2000ならまだよい。「1000円の借金を2回行うと借金が2000円になる」とも解釈できるからだ。ところが-1000×-2はどう理解すればよいのだろうか。インドの数学者バースカラ2世は「財産と財産の積、借金と借金の積は共に財産であり、財産と借金の積は借金である」と述べた。これは確かに負の数の計算規則に沿ってはいるが、これで説明されてもよくわからないだろう。借金に借金をかけても(日常的には)財産になるわけがないと感じられるからである。このため、負の数の掛け算はヨーロッパでは長い間議論されてきたのである。

では、負数同士の掛け算はなぜ正数になるのかを考えてみよう。実は数直線を使うとわかりやすい。

Real Number Line.png

今、原点0に毎秒-1ずつ進む点があるとする。このとき3秒後(+3秒後)にはどこに行くかというと(-1)×(+3)=-3の点である。では、3秒前(-3秒後)ならどうかといえば、-の反対方向、すなわち+の方向であり、原点0から+3のところである。これを式にあらわせば(-1)×(-3)=+3となる。

実は自然現象(正確には物理現象)にも正負の掛け算と似た法則が見られる。まず、押す力(斥力)を+、引く力(引力)を-とする。中学校の理科1分野高等学校理科総合Aでも習ったように、イオンになった原子などは電気を持っている。それらが帯びている電気(の量)を電荷というが、これは+と-の電気をおび、二つの電荷は力を及ぼしあう。それらの関係は以下のようになっている。

電荷1 電荷2
+ + +
- - +
- + -
+ - -

なお、このような二つの電荷と力の関係を表したものがクーロンの法則と呼ばれるものであるが、ここでの公式の紹介や解説は省略する。

分数[編集]

分数の書き方は分母と分子の数の間に括線という線を引けばよい[1]。だから、小学校でならう書き方という書き方のほかに、既にこのページでも何度か使っているように1/2という書き方もある。特に後者は小学校で習った書き方ではスペースが狭い場合にも使うこともあるが、時速を表す単位「km/時」のようにある単位を表す場合にも使われている(なお、このページではスタイルマニュアルに従い、なるべくa/bの表記を行う)。

分数には三つの意味がある。3/5や5/3で考えてみよう。まず「3/5 = 3÷5」「5/3 = 5÷3」のように割り算を表現したものである。次に、3/5は 5等分したものを3つ集めた物、5/3は3等分したものが5つある(1つのものと、3等分したものを2つ集めた物の和)という意味もある。そして、3/5は3:5、 同じく 5/3は5:3という比の意味もあり、この場合、基準となるもので測ると一方は3、もう一方は5になる関係である[2]

小数[編集]

分数と同様に整数と整数の「間」の数のが小数(しょうすう)である。分数が早くから登場したのに対して、小数が登場するのは少し晩い。正確に言えば、古代バビロニアやメソポタミア文明の粘土板には小数も登場していたし、先に紹介した小さな数の単位も小数の仲間といえる(理由は後述)ので、東洋では早くから小数が使われていたといわれる。しかし、ヨーロッパで小数が定着したのは17世紀にジョン・ネイピアが、今使われている整数部分と小数部分の間に小数点[3]を書く方法を紹介してからのことであった。

ヨーロッパで小数が定着するのが晩かった理由は、十進法の一本槍ではなく、1/3や1/4や1/5といった単位分数や、奇数でも4でも割り切れる十二進法や二十進法がよく使われていたからである。数量の単位で、ダース(12。dozen)やグロス(12の2乗=144。gross)やスコア(20。score)といった単位も存在する。この他、十二進法の単位・数詞としては、グロスの上に大グロス(12の3乗=1728。great gross)もある。同じく、二十進法の単位・数詞としては、中米で使用されたマヤ数詞のカル(20。k'áal)、バク(20の2乗=400。bak)、ピク(20の3乗=8000。pic)もある。

「5+1=10」の六進法や、「5+5=10」の十進法は、単偶数(2×奇数)進法であり、両手で数えやすく(※代表的な指数えは、十進と六進の二つがある。後で詳述する)、数字の種類が少ない反面、桁数が増えて、10は4で割り切れず、4分割は20か100まで待つことになる。六(2×3)は複数の素因数で割り切れる最小の数で、十二(3×4)や二十(4×5)と同じく長方形数(隣同士で割り切れる数)なので分割に便利だが、十(2×5)は長方形数ではないので双方の開きが大きくなる。六進法だと10が六で100は三十六(十進法だと36)、十進法だと10が十で100は百(六進法だと244)で、素因数分解すると、六進法100(十進法36)は22×32、十進法100(六進法244)は22×52になる。

十の三乗(六進法4344、十進法1000)や六の四乗(六進法10000、十進法1296)に近い大きい数を見ると、二の十乗に当たる数は、六進法が4424、十進法が1024で四桁に対して、十二進法では714、二十進法では2B4となり三桁に縮まる。十の四乗(一万。六進法114144、十進法10000)前後の大きい数を見ると、六進法の120052、十進法の10400に対して、十二進法では6028、二十進法では1600となり四桁に縮まる。こうして数えて、(2×3)2×3に当たる六の六乗(六進法1000000、十進法46656、十二進法23000、二十進法5GCG)に到達する。地図の縮尺は、十進法だと1/50000が標準値になっているが、これは6-6=1/46656に近いことも挙げられる。

更に進んで、六の八乗(六進法100000000、十進法1679616)に近い冪数だと、十の六乗(百万。六進法33233344、十進法1000000)、十二の六乗(十二進法1000000、六進法144000000、十進法2985984)、二十の五乗(二十進法100000、六進法152330452、十進法3200000)となる。素因数分解も、十の六乗が26×56=64×15625=1000000に対して、六の八乗は212×312=1104×50213=100000000(十進換算値は28×38=256×6561=1679616)となる。これらに対して、十二進法1000000は六乗で210×36=2454×509=1000000(十進換算値は212×36=4096×729=2985984)、二十進法100000は五乗で2A×55=2B4×7G5=100000(十進換算値は210×55=1024×3125=3200000)となる。

このように、十二進法や二十進法の記数法や単位には、「なるべく少ない桁数で」「なるべく分けやすく」「なるべく整数で処理しやすく」という目的が存在する。従って、小数を書くには、どのN進法を使うのか一つに定まっていないと難しい。目的によって「どの素因数が含まれているか」「使う数字が少ない方がいいか」「桁数が少ない方がいいか」「冪指数が同じ方がいいか」を選ぶことになる。

一方、中国やインド、日本のようないわゆる東洋圏では、古くから十進法が使われていたために、十進小数の考え方が使われていた。

また、バビロニアでは十進法を補助として六十進法と小数が使用されて来たが、バビロニアで小数と六十進法が使用された理由の一つとして、戦乱が絶えなかった事が挙げられる。戦利品を分配するには、少人数だと3人どころか5人{つまり(2×3)-1、3の次の奇数}まで対応できなければ満足が望めない。2分割だけではなく、3分割・4分割・5分割の全てが要求される。従って、6(2×3)や12(3×4)や20(4×5)や30(5×6=2×3×5)の短を補う方法として、3×4×5である十進数60(六進数140)を底とする六十進法が考案された。

有限小数[編集]

0.5や0.12のように、有限の桁の小数を有限小数(ゆうげん しょうすう)という。有限小数は必ず分数にできる。有限小数の条件は、「10」となる桁の底 N の因数に、何かの素因数が含まれていることである。

例えば、十二進法では1/3は0.4となり、1/8は0.16となり、1/9は0.14、1/18(十進)は1/16で0.08となって有限小数になるが、これは8が23、9が32、16(十二進)が2×32であり、「10」となる十二には2と3が素因数に含まれているからである。同じく、二十進法では1/5は0.4となり、1/8は0.2Aとなり、1/10(十進)は1/Aで0.2、1/25(十進)は1/15で0.0Gとなって有限小数になるが、これは8が23、A(二十進)が2×5、15(二十進)が52であり、「10」となる二十には2と5が素因数に含まれているからである。

単位分数以外では、十進法の82÷92、即ち64÷81に相当する小数は、六進法では144÷213 = 0.4424 になる。これを十進分数に換算すると 1024/1296 に当たるが、この小数が割り切れる理由も、分母となる213(六進)は92=34であり、「10」となる六には2と3が素因数に含まれているからである。同じく、十進法では「(32×7)÷(24×5)」つまり 63÷80 に相当する小数が 0.7875 になる。この小数が割り切れる理由も、分母となる80(十進)は24×5であり、「10」となる十には2と5が素因数に含まれているからである。

素因数が2と3のN進法であれば、六進数30(十進数18)、六進数144(十進数64)、六進数1043(十進数243)、六進数1300(十進数324)、六進数24000(十進数3456)などが割り切れる小数になる。同じく、素因数が2と5のN進法であれば、十進数50(六進数122)、十進数64(六進数144)、十進数125(六進数325)、十進数250(六進数1054)、十進数3200(六進数22452)などが割り切れる小数になる。逆に、素因数が一つだけだと、その素因数の冪数だけでしか割り切れない。十六進法だと2の冪数だけで、九進法だと3の冪数だけになる。

無限小数[編集]

八進法の1÷3を分数を使わずに計算すると0.2525…、九進法の1÷2を分数を使わずに計算すると0.4444…、十進法の1÷3を分数を使わずに計算すると0.3333…、十二進法の1÷5を分数を使わずに計算すると0.2497 2497…、二十進法の1÷3を分数を使わずに計算すると0.6D6D…、十六進法では1÷3が0.5555…で1÷5も0.3333…になり、いつまでも割り切れない。単位分数以外でも、六進法では3÷14(十分の三)が0.14444…となり、十進法では82÷92=64÷81が0.790123456 790123456…になり、いつまでも割り切れない。このような小数を無限小数という。

無限小数にも同じ数を繰り返す循環小数と、そうでない非循環小数がある。非循環小数には0.101001000100001…のようなものもあるが、代表例として、2の平方根(六進数で1.225245314…、十進数で1.41421356…)や円周率(六進数で3.0503300514…、十進数で3.14159265…)がある。

循環小数の書き方は

のように繰り返しの始めと終わりに点を打てばよい。0.124972497…のように途中から循環する場合には

とする。0.3333…のように同じ数が繰り返す場合は

と、点を一つ打てばよい(ただし、スタイルマニュアルにしたがい、ウィキペディアの書き方0.{123}、0.{3}を以降は用いる)。

さて、無限小数は分数にできるのだろうか。循環小数は分数にすることができる。その方法を見てみよう。

まず、0.{123}=xとする。この式の両辺に1000をかけると123.{123}=1000xとなる。後の式から最初の式を引くと、123.{123}-0.{123}=1000x-xであり、循環部分が消えて123=999xになる。あとは両辺を999で割るとx=123/999、約分して41/333になる。

では非循環小数はどうだろうか。実は、非循環小数は分数にはできない。なぜなら、分数で表されている数を小数に直そうとすれば、必ず循環小数になるからである。

無理数[編集]

整数は分数で表すことができるし、有限小数や循環小数はやはり分数で表すことができる。これらを有理数(ゆうりすう)という。それに対して、分数であらわすことができない数がある。それを無理数という。無理数には円周率(えんしゅうりつ)や、のような平方根(へいほうこん)などがある。無理数は分数や循環小数などで表すことができないので、円周率はπ、平方根は√(ルート)に自然数や正の分数・小数を入れるなど、固有の記号を用いて書き表す。

さて、ここでが分数であらわせないことを証明しよう。これは数学Aの背理法という方法を用いる。

とする。なお、分数b/aはこれ以上約分できないものとする。

これを2乗して整理すると

2a2 = b2

このことからbは偶数であることがわかる[4]。だから、b=2cとできるので、

2a2 = 4c2とすることができる。

この両辺を2で割ると、

a2 = 2c2

このことからaも偶数であることがわかる。よって、a=2dとできる。したがって、

となる。

しかし、これは2c/2dが約分できるので「分数b/aはこれ以上約分できないものとする」としたことと矛盾する。よって、

としたことは誤りであった。

ゆえには分数にできない無理数である。(証明終わり)

この無理数と有理数を合わせて実数(じっすう)という。実数は2乗すると正の数になる。

虚数・複素数[編集]

16世紀のイタリアの数学者、カルダーノ三次方程式の解の公式を公表したとき、二乗するとマイナスになる「奇妙な」数が登場してきた。これが虚数(きょすう)である。そんな数があるのかと思うかもしれない が、x2+2=0という二次方程式を解いてみればわかる。これを解くとになり、2乗するとマイナスになる数が存在することがわかる。

この数の存在は当時の数学者にとって、当時負の数すらなかなか認められなかった中で、さらに奇妙なものに見えたが、これを使わなければ(x-1)(x-2)(x-3)=0のように因数分解できるもの以外の三次方程式は解けなかった。また、この数を使えば二次方程式もすべて解くことができる。そのため虚数は数学者たちに「しぶしぶ」認められた。ここで「しぶしぶ」といったのはこの奇妙な数の命名に見られる。この数はデカルトによってnombre imaginaire(英語に直せばimaginary number)と名付けられた。つまり、「計算上存在する想像上の数」というわけである。

さて、虚数であることを示すには実数の後に i (言うまでもなくimaginaryの頭文字から)という記号をつければよい。例えば先ほどのと書く。また、二次方程式や三次方程式を解くと大抵はa+biのように実数の部分と虚数の部分に分かれる(ただしa, b共に実数)。このように実数と虚数の和で表す数を複素数(ふくそすう)という。複素数の計算は普通の文字式と同じように扱えばよい。ただし、i 2 =-1であることに気をつけるべきである。

複素数の計算規則

a, b, c, d を実数、 z, v, w を複素数とする。

  • (和の交換法則)
  • (積の交換法則)
  • (分配法則)

なお、複素数は本来数学IIで学ぶ。また、1994~2002年度入学、および2012年以降入学予定の高校生は数学Bにおいて複素数を図形(幾何)的に扱う複素数平面というものも扱う。興味があれば、少し難しいがウィキペディアの複素数の記事も参照していただきたい。

なぜ、数を拡大してきたか[編集]

さて、これまで自然数から始まって複素数まで紹介してきた。なぜ、このように数の概念を拡大してきたのだろうか。それは数の概念を拡大すれば様々なことが表現できるし、計算を解くことができるからである。もしも 0 や負数を認めなければ、例えば 20 = 1 や 2-3 = 1/8 というような「割り算の繰り返し」を表現できないし、x+4=0というごく簡単な一次方程式すら「解なし」となってしまうし、実際にそう扱われてきた。(余談だが、小学校で方程式や累乗が出てこないのは、小学校では負数を学ばないのが理由の一つである)。全ての二次方程式や三次方程式を解くには虚数や複素数が必要なことは先ほど述べたとおりである。数の範囲を狭くすればするほど解くことのできる方程式は少なくなる。

数の概念を拡張すれば、様々な物を表現できることも見てみよう。増減の無い基準を0として、それより小さい数を負数と定義すれば、自然や社会の様々な物事を表現できる。経済成長率の「ゼロ成長」「マイナス成長」や気温の「-5度」などはその代表例である。平方根や円周率は図形の面積や辺の長さなどを測るのに不可欠であるから、設計や建築では当然のように登場する。「想像上の数」とされた虚数(正確には複素数)も飛行機の設計や電気工学などでは欠かせないものになっている。

数の分類[編集]

自然数の中には様々な性質を持つ数がある。ここではそれらを見てみよう。

素数[編集]

1とその数自身でしか割り切れない、2以上の数を素数(そすう)という。小さい順から、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…と続く。頻繁に使用される6未満の素数(2, 3, 5)については、「1ヶ月は30日」やバビロニアの六十進法やイギリスの「1ポンド=240ペンス」通貨のように、どれでも割り切れるように桁や単位を設定する場合がある。

さて、素数について学び始めるとよく話題になるのは「1はなぜ素数ではないのか」という疑問ではないだろうか。なぜ1を素数とすることはできないのだろうか。その理由は1を素数とすると支障が発生するからである。まず、自然数には一つの特徴がある。それは自然数はその数自身か素数同士の積で表せるという性質である。例として:

  • 2 は、その数自身が素数である。
  • 3 は、その数自身が素数である。
  • 4 は、4=2×2 または 4=22 というように、素数である2の積に分解できる。
  • 5 は、その数自身が素数である。
  • 6 は、6=2×3というように、素数2と3の積に分解できる。

まず、「その数自身」で表せるのが1と素数である(0も自然数に含める場合には0も)。それ以外の自然数は必ず素数同士の積に分解できる。また、何かの数を割り切る素数を素因数(そいんすう)といい、この分解の方法が素因数分解である。さらに素因数分解は一通りにしかできない(難しく言うと「素因数分解の一意性」。なお、素因数分解の順序は問わない)。例えば、175は5×5×7としか分解できない。しかし、1を素数とすると1×5×5×7とも1×1×5×5×7とも書けてしまい、素因数分解の一意性に背く事態になってしまう。これが1を素数としない理由である。

素数が無限に存在することは古代ギリシャの頃から知られていた。このことを証明する方法もあるが、ここではそれをごくごく簡略化して紹介する(ただし、具体的な数を使うため証明にはなっていないことを断っておく)。やはり背理法を使う。

素数が無限でないとすれば最大の素数が存在する。ここでは13を最大の素数とする。そうすると、2×3×5×7×11×13+1も、2、3、5、7、11、13のいずれかで割り切れることになる。これら六つの素数で割り切れる最小の数は30030であるが、これらで割っても余りが出る。となると、これは素数であるか、または13より大きい素数同士の積である[5]。しかしこれは「13を最大の素数とする」としたことと矛盾する。よって、13は最大の素数とした仮定は誤りである。同様の仮定をさらに大きな素数としても同じ結果になるので最大の素数を考えることはできない。(証明終わり)

合成数[編集]

素数の対義語で、1とその数自身の外に割り切れる数を持っている数は、合成数(ごうせいすう)という。小さい順から、4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20…と続く。合成数にも幾つかの分類がある。8や9や16や25のような「累乗数」(冪数(べきすう)ともいう)と、6や10や12や18や30のような「複数の素因数で表せる数」がある。

  • 4 は、2の2乗である。因数は 2 であり、素因数も 2 である。
  • 6 は、2と3の積である。因数は 2 と 3 であり、素因数も 2 と 3 である。
  • 8 は、2の3乗である。因数は 2 と 4 であるが、素因数は 2 しかない。
  • 9 は、3の2乗である。因数は 3 であり、素因数も 3 である。
  • 10 は、2と5の積である。因数は 2 と 5 であり、素因数も 2 と 5 である。
  • 12 は、2, 3, 4, 6を因数に持っており、素因数は 2 と 3 である。
  • 15 は、3と5の積である。因数は 3 と 5 であり、素因数も 3 と 5 である。
  • 16 は、2の4乗である。因数は 2, 4, 8であるが、素因数は 2 しかない。
  • 18 は、2, 3, 6, 9を因数に持っており、素因数は 2 と 3 である。
  • 20 は、2, 4, 5, 10を因数に持っており、素因数は 2 と 5 である。
  • 25 は、5の2乗である。因数は 5 であり、素因数も 5 である。
  • 27 は、3の3乗である。因数は 3 と 9 であるが、素因数は 3 しかない。
  • 30 は、2と3と5の積である。因数は 2, 3, 5, 6, 10, 15 であり、素因数は 2 と 3 と 5 である。

では、8や9や16や25のような「冪数」と、6や10や12や30のような「複数の素因数で表せる数」は、どこが異なるのであろうか?それは、可分性(割り切れる性質)である。割り算をすると、どんなに因数を持っていても、4や8や16は、2分割の繰り返ししかできない。9や27は、3分割の繰り返ししかできない。25は、5分割の繰り返ししかできない。しかし、6と12と18は「2分割」だけではなく「3分割」ができる。10と20は、「2分割」だけではなく「5分割」ができる。30は「2分割」「3分割」「5分割」の3種類ができる。

完全数[編集]

古代ギリシアの哲学者であり、数学者であり、「ピタゴラス教団」と呼ばれる宗教結社的な学派を創設したピタゴラスは「万物の根源は数である」と述べた。ここでは詳細には立ち入らないが、この思想を持っていたために彼は数に特別な意味があると考えていた。その一例を挙げると、1は神、2は女性、3は男性をあらわすという。そして、5は2+3で結婚、6は1+2+3なので神と人間が調和した完全な数だという。ここで、6の約数(6は含まない)を考えると、面白いことがわかる。6の約数も1、2、3であり、つまり、6は6自身を除いたすべての約数の和であらわすことができる。このような性質を持つ数のことを完全数(かんぜんすう)という。

完全数には6のほかにも28、496、8128、33550336、8589869056などがある。ピタゴラス以来、2500年以上完全数についての研究が続いているが、「偶数の完全数は無限に存在するのか」「奇数の完全数は存在するのか」などといった問題は現在も解決されていない。

図形数[編集]

個数を何かの図形として表現できる数を、「図形数」と呼ぶ。

四角数と六面数[編集]

4、9、16、25、36…など何かの二乗は「平方数」、8、27、64、125、216…など何かの三乗は「立方数」と呼ばれるが、これらは図形として表現できる。平方数は正方形として表現できるので「四角数」、立方数は立方体すなわち正六面体として表現できるので「六面数」ともいう。

例えば、16=42であり、縦4×横4の正方形として表現することができる。また、27=33であり、縦3×横3×高さ3の正六面体として表現することができる。

長方形数[編集]

隣同士の数二つを掛けた数は「長方形数」や「矩形数(くけいすう)」ともいう。小さい順から、2(1×2)、6(2×3)、12(3×4)、20(4×5)、30(5×6)、42(6×7)…の順に増える。隣同士の数で割り切れるので、分割に便利であり、N進法の記数法や単位系としても度々用いられている。

三角数[編集]

N進法[編集]

位取りと命数法[編集]

普段我々が使っている位取りと命数法は「十進法」と呼ばれる方法で、一桁に十個の数字を容れて、十の冪乗で単位を繰り上げる方法である。数詞では、零から十までの数に銘々の名前を付けて、その次は百や千といった十の冪乗で新しい名前が付けられている。

位取りを定式化すると、一桁にN個の数字を容れて、Nの冪乗で桁や単位を進め、桁の基数Nを「10」(N1)、Nの二乗を「100」(N2)として表現する。「1」は桁の基数の零乗(N0)であり、桁の零乗の位を「一の位」という。「0.1」は1をNで一回割った数(N-1)であり、「0.01」は1をNで二回割った数(N-2)である。要約すると、「N3の位」「N2の位」「Nの位」「一の位」「N分の一の位」「N2分の一の位」「N-3」で桁は動いていく。十進法は、このNが十だから、「千の位」「百の位」「十の位」「一の位」「十分の一の位」「百分の一の位」「千分の一」の列になる。

では、このNが十ではなく、別の数字だったらどうだろうか?つまり、「10」は常に「十」ではなく、「六」にでも「八」にでも「九」にでも「十二」にでも「十八」にでも「二十」にでも変われるのだ。通常我々が用いている十進法は、0から9までの十個のアラビア数字で数を表現し、桁や単位を繰り上げる。しかし、十二進法や二十進法など、Nが十を超える場合は、十個のアラビア数字だけでは足りないので、A、B、C…といったラテンアルファベットの大文字を追加し、十をA、十一をB、十二をC…と表記する。漢字表記の場合は、アルファベットに相当する十干を追加し、十一を甲(B)、十二を乙(C)、十三を丙(D)…と表記することになる。逆に、五進法や六進法など、Nが十を切る場合には、使用するアラビア数字を減らす。

整数の位取りと命数法

「五に五を加えて桁上がり」の十進法であれば、一桁に十個の数字を容れて、九(9)、十(10)、十一(11)、十二(12)…と数えて、十の倍数を二十(20)、三十(30)…と命名し、二桁の最大値は九十九(99)と来て、その次の十の二乗を百(100)と命名し、以降は千、万…といった十の冪乗で数詞や単位を作る。

「五の次で桁上がり」の六進法であれば、一桁に六個の数字を入れて、六の冪乗で数詞や単位を作る。十進法であれば「5」の次である六は「6」という一桁の数字だが、六進法であれば「5」の次である六が「10」となり、以降は七は「六一」(11)、八は「六二」(12)…というように、七から十一までは「六に一から五までの数を加算」した数詞になり、十は「六四」(14)、十一は「六五」(15)と来て、六五の次である六の二倍は「二六」(20)、その次は「二六一」(21)…というように命名する。六の倍数は、十二ではなく「二六」(20)、十八ではなく「三六」(30)、二十四ではなく「四六」(40)、三十ではなく「五六」(50)と命名する。従って、十三は「二六一」(21)、二十一は「三六三」(33)、二十五は「四六一」(41)、二十七は「四六三」(43)と命名され、逆に十は「六に四を加えた数」として「六四」と命名される。二桁の最大値は五六五(55)になり、その次で100となる六の二乗(十進命数法だと「三十六」)で新しい数詞を命名し、以降は六の三乗(1000、二百十六)、六の四乗(10000、千二百九十六)…といった六の冪乗で数詞や単位を作る。

十二進法であれば、一桁に十二個の数字を容れて、零から十二までの個別の数詞を命名して、十二の冪乗で数詞や単位を作る。十進法であれば「10」は十で「12」は十二だが、十二進法であれば「A」が十で「10」が十二で「12」は十四という意味になる。甲乙丙丁を当て嵌めると、数詞や数列の進み方も、九(9)、十(A)、甲(B)、乙(10)、乙一(11)、乙二(12)…乙九(19)、乙十(1A)、乙甲(1B)、二乙(20)、二乙一(21)…という方法になる。十二の倍数も端数にならず、三十六は「三乙」(30)、六十は「五乙」(50)、百三十二は「甲乙」(B0)となる。九十は「七乙六」(76)、百は「八乙四」(84)という命数法になる。二桁の最大値は甲乙甲(BB)という命数法になり、その次で100となる十二の二乗(十進命数法だと「百四十四」)で新しい数詞を命名し、以降は十二の三乗(1000、千七百二十八)、十二の四乗(10000、二万七百三十六)…といった十二の冪乗で数詞や単位を作る。記数法も、六進法の144は「54」になり、十進法の144は「100」になる。

十進法では、50は「五十」で500は「五百」というように、十倍ごとに変わる。しかし、六進法だと、50は「五六」という数詞で「三十」(十進法で5×6)、500は「百八十」(十進法で5×36)というように、六倍ごとに変わる。小数も、0.5は「六分の五」「十進法の5/6」になり、0.05は「三十六分の五」「十進法の5/36」になる。十二進法も同じで、50は「六十」(十進法で5×12)で500は「七百二十」(十進法で5×144)というように、十二倍ごとに変わる。十二進法の小数も、0.5は「十二分の五」「十進法の5/12」になり、0.05は「百四十四分の五」「十進法の5/144」になる。

「50×2=100」になるのは十進法だからに過ぎず、六進法では「50×2=140」、十二進法など十を超えるN進法では「50×2=A0」になり、「100」にはならない。同じく、「5000÷23=625」で末尾が5になるのも十進法だからに過ぎず、「3の倍数」進数である六進法では「5000÷23=343」、十二進法では「5000÷23=760」、「5の倍数」進数でも二十進法では「5000÷23=CA0」となり、いずれも末尾は5にならない。

「1/2」の表記

小学校時代に偶数と奇数について触れただろう。では、最も基本的な分数である「1/2」を小数にすると、十進法以外ではどう表記されるか?

  • 六進法 0.3
  • 八進法 0.4
  • 十進法 0.5
  • 十二進法 0.6
  • 十六進法 0.8
  • 十八進法 0.9
  • 二十進法 0.A

底が六や十などの単偶数(四で割り切れない偶数)だと、1/2を意味する小数の末尾は奇数になる。しかし、底が八や十二などの複偶数(四で割り切れる偶数)だと、小数の末尾は偶数になる。「1/2」を小数にしても、これだけ異なる。

底の選定[編集]

では、一般に「N」と呼ばれ、位取りの基礎で累乗される「底」は、どのように選定されているのだろうか?短く言うと、数えやすさと分けやすさに集約されるだろう。段階を追うと、以下のようになっている。

  • (1)素因数が複数あるか
素因数が一つだけだと、割り切れる小数が極端に減る。二進法・八進法・十六進法といった「二の冪数」進法は、素因数が2だけなので、2でしか割り切れない。三進法・九進法といった「三の冪数」進法は、素因数が3だけなので、3でしか割り切れない。
「二の冪数」進法では、1/3や1/5など「1÷奇数」は全て無限小数になる。しばしば「十進法は1÷3が0.3333…となり割り切れない」ことが問題になるが、コンピューターで頻繁に使われる八進法は、「1÷3は0.2525…となり割り切れない」どころか「1÷5も0.1463…となり割り切れない」。同じく十六進法は、「1÷3は0.5555…となり割り切れない」どころか「1÷5も0.3333…となり割り切れない」。逆数も、十進数512の次は、十進数1024が来るまで全て割り切れない。これは、八を素因数分解すると23で、十六を素因数分解すると24で、両方とも素因数が2だけだからである。これは、六進法の「2×3」や十進法の「2×5」よりも少ない。逆に、素因数に奇数が含まれていれば、小数レベルでも 9(32)や27(33)や25(52)といった奇数の冪数で割り切れるようになる。
「三の冪数」進法も同じで、1/2や1/6など「1÷偶数」は全て無限小数になる。逆数も、十進数243の次は、十進数729が来るまで全て割り切れない。
従って、素因数が複数あることが第一の条件になる。記数法で必要となる素因数は、2×3=6から、6未満の素因数の組み合わせになる。よって、2と3が含まれる「三の倍数=六の倍数」進数か、2と5が含まれる「五の倍数=十の倍数」進数ということになる。この時点で、「三の倍数」か「五の倍数」かのどれかを選ぶことになる。
  • (2)底が2で割り切れるか
我々の日常では、様々な場面で結合したり分割したりするシーンがあるが、その最も基礎となるのが「偶数であること」即ち「2で割り切れること」だろう。スポーツで試合を組む、2人を合わせる、2人で分ける、樹形図を描く、様々な場面で2や2の冪乗が登場する。
もしも底が3 や9や15といった奇数だと、整数レベルでも2で割り切れないどころか、小数レベルでも 1÷2 すら割り切れず、「1÷偶数」は全て無限小数になる。例えば、九進法にすると 1÷2=0.4444…、1÷4=0.2222…となり、十五進法にすると 1÷2=0.7777…、1÷4=0.3B3B…になってしまう。
  • (3)底が小さ過ぎたり大き過ぎたりしないか
コンピューターは二進法で数字が0と1しか無いが、かといって一桁に容れる数字が多過ぎては覚えるだけで面倒になる。
「数字が0と1だけ」の二進法にすると、十進法の64で7桁に突入、十進法の4096で13桁に突入というように、すぐに桁が繰り上がり、予算レベルの大きい数は表現すら困難になる。日常生活レベルでも、例えば十進法の「2001年9月30日」、六進法の「13133年13月50日」は、二進法だと「11111010001年1001月11110日」という羅列になり、見ただけで混乱してしまう。かといって、「2でも3でも5でも割り切れる」という理由で三十を底にして、かつ一桁に三十個の数字を容れたら、数字を覚えるだけで大変で、九九は29の2乗で841種類も覚えなければならない。
このように、桁の底が小さ過ぎても大き過ぎても支障になる。現実的に許容される範囲としては、2×3=6から、最小で6(=2×3)、最大で20(=4×5)が相場になっている。
  • (4)底が単偶数か複偶数か
偶数であることは底を決める上で大前提だが、4で割り切れる(複偶数)か4で割り切れない(単偶数)かも重要になる。四季や四肢や直角(1/4周)など、4分割から成り立つ要素がざらにあるからである。このため、最後は単偶数か複偶数かで底を決めることになる。
6から20まで、かつ3か5のどれかで割り切れる偶数は計5種類で、「三の倍数」進法なら六進法(2×3)、十二進法(4×3)、十八進法(2×9)の計3種類、「五の倍数」進法なら十進法(2×5)と二十進法(4×5)の計2種類、ということになる。

N進法の計算[編集]

3で割り切れるN進法に変えたら

「1/3が0.3333…になって割り切れない」「10÷3が割り切れない」「1/3メートルは33.3333…センチメートル?」に苦しめられている人々も多いだろう。年末が「12月」で時刻の最後が「12時」という表記に違和感を持つ人も多いだろう。これらの原因は、十が「10」で、十倍ごとに位取りが変わる十進法だからである。十は、因数が2と5しかなく、素因数分解も2×5だからに過ぎない。小数も同じで、十進法では0.1が十個で1が作られ、0.2は1/5、0.3は10/3、0.4は2/5…となり、1/3で表せる小数が存在しない。

同じく、「数字が0と1だけ(二進法)だと、三分割が1/11=0.01010101…になって割り切れない」「八進法は1/3が0.2525…となって割り切れない」「十六進法は1/3が0.5555…となって割り切れない」で困っている人もいるだろう。これらも同じで、二が「10」で二倍ごとに桁が変わる二進法、八が「10」で八倍ごとに桁が変わる八進法、十六が「10」で十六倍ごとに桁が変わる十六進法だからである。素数の二は言うまでもなく、八は因数が2と4、十六は因数が2と4と8で、奇数の因数が無く、素因数分解も八が23で十六が24だからに過ぎない。小数も同じで、二進法では0.1が二個で1が作られ、八進法は0.1が八個で1が作られ、0.2は1/4、0.3は3/8、0.4は1/2、0.5は5/8、0.6は3/4、0.7は7/8となり、1/3で表せる小数が存在しない。十六進法も0.1が十六個で1が作られるので、0.2は1/8、0.3は3/16、0.4は1/4、0.5は5/16…となり、1/3で表せる小数が存在しない。

逆に、サイコロと同じ六進法に変えてはどうか。使う数字は0から5までの六種類で、5の次である六が「10」になるので、2×3=10、10÷2=3、10÷3=2となる。小数も、六進法では0.1は「1/6」を意味するので、0.2は「2/6=1/3」、0.3は「3/6=1/2」、0.4は「4/6=2/3」となり、1/3は0.2となり割り切れる小数になる。つまり、「1/3が割り切れない」原因は、六みたいな3で割り切れる数を桁や単位に設定せず、八や十や十六といった3で割り切れない数を桁や単位に設定しているからに過ぎない。

六進法は六倍や六分割の繰り返しで桁が動くので、100は三十六、1000は二百十六、10000は千二百九十六となり、0.01は三十六分の一、0.001は二百十六分の一、0.0001は千二百九十六分の一となる。サイコロで割合の計算をすると、「55」「555」「5555」といった5のゾロ目が登場するが、これらは六進数で、55は三十五、555は二百十五、5555は千二百九十五となるように、6の冪数から1を減らした数であることは解るだろう。

0  1   2   3   4   5  10  11   12   13   14   15   20   21   22   23   24   25   30|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__

記数法や命数法も、六進法では以下のようになる。

  • 七(十進法の7)は「11」「六一」→ 十進換算で「6 + 1」。
  • 八(二の三乗)は「12」「六二」→ 十進換算で「6 + 2」。
  • 九(三の二乗)は「13」「六三」→ 十進換算で「6 + 3」。
  • 十(十進法の10)は「14」「六四」→ 十進換算で「6 + 4」。
  • 十一(十進法の11)は「15」「六五」→ 十進換算で「6 + 5」。
  • 十二(十進法の12)は「20」「二六」→ 十進換算で「2×6」。
  • 十三(十進法の13)は「21」「二六一」→ 十進換算で「2×6 + 1」。
  • 十六(十進法の16)は「24」「二六四」→ 十進換算で「2×6 + 4」。
  • 十八(十進法の18)は「30」「三六」→ 十進換算で「3×6」。
  • 二十一(十進法の21)は「33」「三六三」→ 十進換算で「3×6 + 3」。
  • 二十四(十進法の24)は「40」「四六」→ 十進換算で「4×6」。
  • 二十五(十進法の25)は「41」「四六一」→ 十進換算で「4×6 + 1」。
  • 二十七(三の三乗)は「43」「四六三」→ 十進換算で「4×6 + 3」。
  • 三十(十進法の30)は「50」「五六」→ 十進換算で「5×6」。
  • 三十五(十進法の35)は「55」「五六五」→ 十進換算で「5×6 + 5」。
  • 三十六(六の二乗、十進法の36)は「100」「●」→ 十進換算で「62」。←ここで「百」や「nif」のような新しい数詞を作る。
  • 六十四(八の二乗、二の六乗)は「144」「●四六四」→ 十進換算で「1×62 + 4×61 + 4」。
  • 八十一(九の二乗、三の四乗)は「213」「二●六三」→ 十進換算で「2×62 + 1×61 + 3」。
  • 百(十の二乗、十進法の100)は「244」「二●四六四」→ 十進換算で「2×62 + 4×61 + 4」。
  • 百八(十進法の108)は「300」「三●」→ 十進換算で「3×62」。
  • 二百十六(六の三乗、十進法の216)は「1000」「▲」→ 十進換算で「63」。←ここで「千」や「tarumba」のような新しい数詞を作る。
  • 三百六十五(十進法の365)は「1405」「▲四●五」→ 十進換算で「1×63 + 4×62 + 0×61 + 5」。
  • 七百二十九(九の三乗、三の六乗)は「3213」「三▲二●六三」→ 十進換算で「3×63 + 2×62 + 1×61 + 3」。
  • 千(十の三乗、十進法の1000)は「4344」「四▲三●四六四」→ 十進換算で「4×63 + 3×62 + 4×61 + 4」。
  • 千八十(十進法の1080)は「5000」「五▲」→ 十進換算で「5×63」。

十進法では「3×4」の数が「十二」「12」となり半端な扱いをされるが、十進法の「十二月三十日」「12月30日」は、六進法では「二六月五六日」「20月50日」というぴったりの扱いをされる。3で割り切れる数は一の位が3か0のどれかになるので、2でしか割り切れない十六進法は「二六四進法」という呼称になり、十進分数の7/16も「11/24」となり、一の位が3の倍数にならない。逆に、3の倍数は判りやすく、一日は「40時間」「四六時間」となり、「24時間」は「二六四時間」で2/3日になる。その他、二十一は「三六三」、二十七は「四六三」という言い方になり、3の倍数は半端な扱いを受けない。十五も「二六三」となり、三と六と六三(すなわち九)の仲間になり、五と六四(すなわち十)の仲間ではなくなる。
三十六が桁上がりで100ということは、1/4と3/4も割り切れて、1/4は0.13(十進法だと9/36)になり、3/4は0.43(十進分数だと27/36)になる。また、六進法の1/12は「1/8」で0.043(十進分数だと27/216)となり、十進法の1/12は六進法では「1/20」で0.03(十進分数だと3/36)となる。
素因数に3が含まれていることは、九や二十七や八十一といった3の冪数でも割り切れる事を意味する。例えば、1/9である1÷13は、0.04となって割り切れる。二十七分割である1/43も0.012(十進分数で8/216)となって割り切れ、八十一分割である1/213も0.0024(十進分数で16/1296)となって割り切れる。数式でも、十進法の乗算「16×81=1296」は、六進法では「24×213=10000」と表記される。この数式を六進数で素因数分解すると、「24×34=104」になる。

また、十進法では、十の二乗を「百」、十の三乗を「千」、十の四乗を「万」、十の五乗を「十万」…と命名している。同じく、六進法では、六の二乗(三十六)、六の三乗(二百十六)、六の四乗(千二百九十六)…で新しい数詞を命名する。六の五乗(七千七百七十六)は独立系か「六の四乗の六倍」のどれかになるが、1010となる六の六乗(四万六千六百五十六)は重要な道標になるので新しい数詞を命名する。従って、二の六乗は「六十四」ではなく「●四六四」(144)、百は「二●四六四」(244)、三の六乗は「七百二十九」ではなく「三▲二●六三」(3213)という命数法になるので、●や▲に当て嵌まる数詞を考案することになる。六の大字は陸なので、六の二乗は海、六の三乗は空(そら)に関連する字になると思われる。

「両手で数える」というと「5+5=10」「十進法で10まで」しかないと思われがちだが、「両手で数える」なら「5+1=10」「六進法で55まで」がもっと便利になる。片手で0(拳)から5までの六種類の数を表現できる上に、1/2と1/3という最も基本的な分数が割り切れるからである。この方法では、「もう片手が1」つまり6になったら桁上がりして10になり、両手で「一の位」と「六の位」で55(十進法35)まで、「一の位」と「六分の一の位」で5.5(5と5/6)まで、「六分の一の位」と「三十六分の一の位」で0.55(十進法35/36)までをカウントできる。桁溢れとなる100=十進法36は、両手を開いたり閉じたりする方法で表現する。冒頭の「零から三十六まで」は、この指数え方法に因む。小数の数列も、両手で十進法は11(六進法15)以降の整数も1.1以降の小数も表現できないが、両手で六進法は「六分の七」を1.1として、「六分の八 = 三分の四」を1.2として表現できる。

十進法など「五の倍数」進法は「単純な指趾の数」なのに対して、六進法は手足をソロバンやサイコロに置き換えて数えたり分けたりする。「片手が五本だから五進法、両手が十本だから十進法」は落とし穴で、一桁に十進法は9までしか容れられないし、五進法は4までしか容れられない(実際の二・五進法のソロバンを見れば明らか)のに対して、一桁に5まで容れるのは六進法になる。また、十進法は、両足を入れても20(六進法32)までしかカウントできない。逆に、六進法だと、両手に両足を加えれば、足趾で62=三十六の位や63=二百十六の位を表現できて、5555(十進法1295)までをカウントできる。五本指で数えるなら、十進法のような「五の倍数」進法ではなく、三で割り切れる六進法の方がもっと理に適った数え方と言えよう。

  • 十進法 8 = 六進法 12(左手「1」右手「2」)
    • 8/6 = 六進法 1.2(左手「1」右手「2」)← 十進法だと 1.3333…
    • 2/9 = 六進法 0.12(左手「1」右手「2」)← 十進法だと 0.2222…
  • 十進法 11 = 六進法 15(左手「1」右手「5」)
  • 十進法 21 = 六進法 33(左手「3」右手「3」)
    • 十進法 3.5 = 六進法 3.3(左手「3」右手「3」)
    • 十進法 7/12 = 六進法 0.33(左手「3」右手「3」)← 十進法だと 0.58333…
  • 十進法 27 = 六進法 43(左手「4」右手「3」)
    • 3/4 = 十進法 0.75 = 六進法 0.43(左手「4」右手「3」)
  • 1/9 = 六進法 0.04(左手「0」右手「4」)← 十進法だと 0.1111…

次は、十進法の加算「128+7 = 135」と減算「128-3 = 125」を換算してみよう。

  • 十進法:128 + 7 = 135
  • 六進法:332 + 11 = 343
  • 十進法:128 - 3 = 125
  • 六進法:332 - 3 = 325

十進法の128は、六進法では「3×62 + 3×61 + 2」で332となる。7は二桁で「11」になるので、これをそのまま足せば、十進法の135は六進法の343になる。繰り上がりと繰り下がりは十進法と同じ要領で、6が「10」なので、六進法では「12-3 = 5」になる。 そして、小数で示される割合も、六進小数ではこうなる。

  • 六進小数 0.332 :十進分数で128/216になり、約分すると16/27(六進分数では24/43)になる。←十進小数では 0.592592…で「592」が無限に循環する。
  • 六進小数 0.343 :十進分数で135/216になり、約分すると5/8(六進分数では5/12)になる。←十進小数では0.625となる。

ということは、十進法の「5割9分2厘」は六進法では「3割3割2厘」、十進法の「6割2分5厘」は六進法では「3割4分3厘」になる。

割分厘は、十進法では「十分率」「百分率」「千分率」だが、六進法では「六分率」「三十六分率」「二百十六分率」になる。六進法の厘は十進法の厘のほぼ1/5の数で、33(二十七)は53(百二十五)より九十八も小さいが、百二十五分割(五分割を三回)と二十七分割(三分割を三回)のどちらが頻出かは、読者の判断に任せよう。

次は、百の三分割・九分割・二十七分割を計算してみよう。

  • 十進法:100 ÷ 3 = 33.3333…
  • 六進法:244 ÷ 3 = 53.2
  • 十進法:100 ÷ 9 = 11.1111…
  • 六進法:244 ÷ 13 = 15.04
  • 十進法:100 ÷ 27 = 3.703703…
  • 六進法:244 ÷ 43 = 3.412

全てきれいに割り切れた。この「53.2」を十進法に直すと、「33と1/3」という意味になる。「53」は「5×6 + 3」で五六三すなわち三十三に当たり、小数の「.2」が「0.2=2/6=1/3」に当たる。数詞を六進法に変えると「53.2」は「五六三点二」という言い方になる。同じく、「.04」は「十進分数の4/36=1/9」、「.412」は「十進分数の152/216=19/27」に当たる。また、3.412の小数点を消した六進法の3412は、十進法の800である。これは、13(十進数で9)で割ると4倍の数が、43(十進数で27)で割ると12倍(十進数で8倍)の数が現れるからである。十進法では「ウソ800」が、六進法では「ウソ3412」となり、桁増で大げさな表現も可能になるが…。

同じく、二の冪数の割り算もやってみよう。

  • 被除数が六十四(28
    • 八進法:100 ÷ 11 = 7.0707…
    • 六進法:144 ÷ 13 = 11.04
  • 被除数が二百五十六(28
    • 十六進法:100 ÷ 3 = 55.5555…
    • 六進法:1104 ÷ 3 = 221.2
  • 除数が六十四(26
    • 十進法:1 ÷ 64 = 0.015625
    • 六進法:1 ÷ 144 = 0.003213
  • 除数が七百二十九(36
    • 十進法:1 ÷ 729 = 0.001371 742112 482853…(*循環節は34=81桁)
    • 六進法:1 ÷ 3213 = 0.000144

これまたきれいに割り切れた。「11.04」を十進法に直すと「7と1/9」という意味になり、「221.2」を十進法に直すと「85と1/3」という意味になる。また、2の冪数の逆数は、十進法では5の冪数に対して、六進法では3の冪数になる。同じく、逆数の分子が2の冪数になる数も、十進法では5の冪数に対して、六進法では3の冪数になる。
26の逆数を十進法で換算すると、十進法では「15625 / 1000000 = 56 / 106」になるが、六進法では「3213 / 1000000 = 310 / 1010」になり、これを十進法で意訳すると「729 / 46656 = 36 / 66」になる。百万すなわち十の六乗は六進法で33233344(コンマを入れると1,000,000(十進)=33,233,344(六進))になるので、六進法では分子・分母を十進法の三六三分の一、つまり二十一分の一に短縮できる。

逆に、六進法は「1/5」や「十分の一」が割り切れない。5が六の素因数に含まれていないからだ。一桁整数の逆数も、1/5だけが割り切れない。

  • 十進法:1 ÷ 5 = 0.2
  • 六進法:1 ÷ 5 = 0.1111…
  • 十進法:1 ÷ 10 = 0.1
  • 六進法:1 ÷ 14 = 0.03333…
  • 十進法:3 ÷ 5 = 0.6
  • 六進法:3 ÷ 5 = 0.3333…

以上のように、どの数が約数や素因数に含まれているかで、割り切れる数が決まる。

更に、十進法が「両手の十本の指」に由来しているのと同じで、六進法も「もう片手は桁上がり」の指数えに加えて、サイコロなど立方体の面と同じ「上下・左右・前後の六つの面」に由来している。だから、十の二乗で「百貨店」「百葉箱」「小倉百人一首」「百花繚乱」に対して、六の二乗で「富嶽三十六景」「兵法三十六策」「東山三十六峰」というように、六の二乗である三十六も「多数」の代名詞として用いられている。数詞でも、「二十四時間」を「四六時中」と呼ぶ六進法の数詞も使用されている。このように、日本では十進法の次に六進法が強い傾向が見られるが、用法を見ると、十や百は「漠然とした多数」なのに対して、六や三十六は「多数の方角」「その空間の全て」というように使用されている。

4で割り切れるN進法に変えたら

では、底が「三の四倍」である十二進法にしたらどうなるか?十二は三でも四でも割り切れるから、十二進法では「10÷3=4」で割り切れるし、「10÷4=3」で割り切れる。勿論、「10÷2=6」で割り切れる。十二の約数は2, 3, 4, 6 の計四つで、素因数分解も22×3となる。これだから、小数でも、三から十二までの三の倍数四つ(3、6、9、10)で全て割り切れて、「1÷3=0.4」「1÷6=0.2」「1÷9=0.14」になる。しかし、五が約数に含まれていないので、「1÷5」と「1÷A」(十進表記の「1÷10」)は割り切れない。「1÷5=0.2497…」となる。

十二進法の小数の計算では、半年を「0.6」、十ヶ月を「0.A」、十一ヶ月を「0.B」として計算することも可能になる。例えば、十進表記の「1991年11月の2年半前は1989年5月」は、十二進表記の小数では「119B.B - 2.6 = 1199.5」で表せる。十進法の1991は「13×144 + 119」で「1×123 + 1×122 + 9×121 + 11」に分解できるから、十二進法では119Bになる。なお、六進小数を用いた場合は、小数の数値は十二進小数の3倍になり、「13115.53 - 2.30 = 13113.23」となる。

また、「2年半の2倍は5年」は「2.6×2=5」、「2年半の3倍は7年半」は「2.6×3=7.6」、「7年半の3倍は22年半」は「7.6×3=1A.6」という表記になる。桁を繰り上げた「26×2=50」は十進法の「30×2=60」に等しく、「26×3=76」は十進法の「30×3=90」に等しく、「76×3=1A6」は「90×3=270」に等しい。「2.6」や「26」と書けば「2年6ヶ月=30ヶ月」、「5」や「50」と書けば「5年=60ヶ月」、「7.6」「76」と書けば「7年6ヶ月=90ヶ月」、「1A.6」「1A6」と書けば「22年6ヶ月=270ヶ月」で辻褄が合う。

また、「10個を4人でも奇数人でも割り切る」なら、十二進法以外に、二十進法でも可能になる。二十は四でも五でも割り切れるから、二十進法では「10÷4=5」で割り切れるし、「10÷5=4」、「10÷2=A」で割り切れる。二十の約数は2, 4, 5, A(十進法の10)の計四つで、素因数分解も22×5となる。割り切れる小数も、「1÷2=0.A」「1÷4=0.5」「1÷5=0.4」となる。しかし、こちらは三が約数に入っていないので、「1÷3=0.6D6D…」となって割り切れない。従って、十二進法が「3人から4人に増えた時に便利」なのに対して、二十進法は「4人から5人に増えた時に便利」な数え方になる。

八分割を必要とする野球の打率も、十二進法では「百四十四分率」になり、二十進法では「四百分率」になるが、これらは1/8が小数二桁で収まるという特徴を持つ。1/8(六進分数だと1/12)の小数は、十進法で0.125、六進法で0.043(十進分数で27/216)に対して、十二進法では0.16(十進分数で18/144)になり、二十進法では0.2A(十進分数で50/400)になる。

現代ではコンピューターの普及で2の冪数が溢れているが、2の冪数の割算では、「4×奇数」のN進法では更に桁数が減る。例えば、十六進法の0.01すなわち2-8の小数も、以下のようになる。

  • 六進法:1 ÷ 1104 = 0.00050213(十進換算値は38 / 68 = 6561 / 167万9616)
  • 十進法:1 ÷ 256 = 0.00390625(十進換算値は58 / 108 = 39万0625 / 1億)
  • 十二進法:1 ÷ 194 = 0.0069(十進換算値は34 / 124 = 81 / 20736)
  • 二十進法:1 ÷ CG = 0.01B5(十進換算値は54 / 204 = 625 / 16万)

N進法の単位[編集]

十進法以外の単位として思い衝く物として、時計の六十進法が有名だろう。十進表記で、60秒=1時間、3600秒=60分=1時間という、六十の冪乗で単位を設定する方法である。他にはダース→グロス→大グロスといった十二進法の単位も知られているが、その他の分野で、十進法以外で単位が設定されたらどうなるか?本稿の読者の皆さんも考えていただきたいと思う。

貨幣

機械的に冪乗を適用する体系としては、先ず貨幣が挙げられるだろう。ヤード・ポンド法の本家であるイギリスが、貨幣を十進法に変更した日は、第二次大戦後の1971年2月15日だった。2019年5月現在、まだ48年3ヶ月(前記の十二進法なら403ヶ月=十進法579ヶ月)という短い期間しか経っていない。それ以前のイギリスは、バビロニアの六十進法に似た発想で、第一段階で十二分割と、第二段階で二十分割を組み合わせて、3でも4でも5でも割り切れる十二進法180(二十進法C0、十進法240=12×20)を単位とした通貨を用いていた。3でも9でも割り切れる十二進法100(二十進法74、十進法144)を単位にすれば、という声もあったそうである。

貨幣が十進法だと、どうなるか。2と5でしか割り切れないから、十の冪数と、十の冪数の5倍しか発行されない。50円→100円→500円→1000円で、二倍の開きでしか作れない。三分割や九分割は不可能で、四分割も不便になる。では、65=7776円が「100000円」、203=8000円が「1000円」になると、どうなるか?

先ず、貨幣が六進法になったら場合はどうなるか?2と3の冪指数が同じなので、十進法の36円が「100円」、216円が「1000円」、1296円が「10000円」になり、三分割は「100÷3=20」、四分割は「100÷4=13」、九分割は「100÷13=4」、八分割は「1000÷12=43」、二十七分割は「1000÷43=12」、十六分割は「10000÷24=213」、八十一分割は「10000÷213=24」というように、3の冪数で分けやすくなる。50円も三分割できて50円÷3=14円(十進数に直すと30円÷3=10円)になり、50円+10円=100円(十進数に直すと30円+6円=36円)になる。しかし、桁上がりが速いので発行種類が増えるという短所を持つ。数列は6の冪数→6の冪数の3倍になるので、十進数で1円→3円→6円→18円→36円→108円→216円→648円→1296円→3888円→7776円→23328円→46656円の列になる。この数列を六進数にすると、1円→3円→10円→30円→100円→300円→1000円→3000円→10000円→30000円→100000円→300000円→1000000円の列になり、少なくとも100000円=十進法7776円まで計十一種類は必要になる。
見て解る通り、二進法では「十進法64が百万」、三進法では「十進法729が百万」に対して、六進法では「十進法64×729=46656が百万」の世界になり、「1000000=2の6乗×3の6乗」になる。また、十二進法の10000(六進法240000、十進法20736)は25や34は割り切れても35が割り切れないが、その3/8である六進法100000(十二進法4600、十進法7776)は35でも割り切れ、「100000÷1043 = 52」(十進換算で7776÷243 = 32)になる。

では、3と4が約数に含まれる十二進法や、4と5が約数に含まれる二十進法が適用されたら、どうなるだろうか?分けやすくなると同時に、桁上がりが遅くなるので「少ない発行種類で済ませられる」という特徴を持つ。なお、十進以降の記数法は、十進法は(A)、十二進法は(C)というようにアルファベット下付きで示す。

例えば、十二進法で、十進数12円→144円→1728円→20736円の列に、どの補助貨幣を入れるだろうか?半分にした6円・72円・864円・10368円か、四分割した3円・36円・432円・5184円か、それとも奇数の三で分けた4円・48円・576円・6912円か?二十進法で、十進数20円→400円→8000円→160000円の列に、どの補助貨幣を入れるだろうか?半分にした200円・4000円・80000円か、四分割した5円・100円・2000円・40000円か、それとも奇数の五で分けた4円・80円・1600円・32000円か?分割法によって、様々な利便が生まれるだろう。
例えば、432円(300円)C硬貨1枚と144円(100円)C硬貨1枚で576円(400円)Cにして、それが3人分で1728円(1000C)紙幣に両替できる。4人で2000円(500円)K紙幣を1枚ずつ出して8000円(1000円)Kの品物を買う、8000円(1000円)Kを2000円(500円)K紙幣4枚か1600円(400円)K紙幣5枚のどれかで両替できる、といった事ができるようになる。更に、最高額紙幣を20736円(10000円)C紙幣や40000円(5000円)K紙幣に変更して札束を薄くする、という発想も思い衝くだろう。

ネットの件数

また、「Windows 95」以来、ネット社会が到来して二十四年、言わば四六年が経った。また、インターネット掲示板「2ちゃんねる」も、1つのスレッドの収録数は千件だ。しかし、よく考えたら、「95」にしろ「千件収録」にしろ「2000年問題」にしろ、十進法の発想に過ぎない。「ミレニアム」も、十進法で下三桁が000になるから盛り上がったに過ぎず、十進法の2000年は、3で割り切れる六進法では13132年、同じく十二進法では11A8年になる。同じく、十進法の2000は二十進法でも500で「キリ番」になるが、十進法の3000は二十進法では7A0なので「キリ番」にはならず、1000(十進法の8000)の3/8なので「3/8」という扱いを受ける(十二進法460、十進法3750、六進法21300などと同様)。下三桁が000で盛り上がるなら、十進法は2000(A)年でも、六進法なら1944(A)年=13000年と1728(A)年=12000年になり、十二進法なら1728(A)年=1000年になるからである。
数値観でも、「1/3が割り切れる」「3の倍数が重視される」世界では、2でしか割り切れない十進法2048=六進法13252=(211)A=(215)6よりも、5で割れても3で割り切れない十進法2000=六進法13132=24×53よりも、3の冪指数が多い十進法1944=六進法13000=23×35の方が格上になる。

では、十進法以外の「複素因数進法」を適用したらどうなるか。考えられる例を以下に挙げる。

先ず、「5の次で桁上がり」の六進法はどうか。六進法の100は十進法の36、1000は十進法の216、六進法の4344が十進法の1000、六進法の10000が十進法の1296、六進法の13123が十進法の1995になる。すると、十進法の36~215が三桁になるので、下二桁は下三桁が当たり前になる。「Windows 123」となり、2ちゃんねるの1スレッドの収録数も10000(6)件=1296(A)件になる。

同じ「2と3で割り切れる、4の3倍が10」の十二進法はどうか。十二進法では、100=六進法の400=十進法の144、900=六進法の10000=十進法の1296、1000=六進法の12000=十進法の1728、11A3=六進法の13123=十進法の1995となる。すると、「Windows A3」となり、2ちゃんねるの1スレッドの収録数は1000(C)件=1728(A)件になる。

では、「4の5倍が10で、数が最大網羅で桁数が少ない」二十進法はどうか。二十進法では、100が十進法の400、468=十二進法の1000=十進法の1728、4JFが十進法の1995、500が十進法の2000、1000が十進法の8000、11C0=十二進法の5000=十進法の8640となり、桁の増加が遅い。すると、「Windows JF」となり、2ちゃんねるの1スレッドの収録数は、100(K)=400(A)の倍数かつ割りやすい数で、300(K)件=1200(A)件が考えられる。また、細分化は四分割や五分割が中心になる。

結語

このように、世界は全てが十進法でもなく、全てが二進法でもなく、全てが三進法でもない。全てを「五つ組が二つ」でしか割り切れない十進法でもない、全てを「二」でしか割り切れない二進法・八進法・十六進法でもない、全てを「三」でしか割り切れない三進法・九進法でもない、別のN進法を模索すべきではなかろうか?

代数[編集]

なぜ文字式を使うのか[編集]

代数の難しさ[編集]

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  1. ^ 小学校では分子と分母は自然数のみを使い、中学校ではさらに整数と無理数を使うが、実は分子と分母はどんな数でもよい(ただし、先に述べたように原則として分母は0にできない)。だから、や分数式といわれる、さらに連分数というものもある。これらについては数学II数学IIIを参照のこと。
  2. ^ ちなみに、2009年度入学の中学校1年生から復活したものとして比例式(ひれいしき)というものもある。これは先ほどの三番目の意味を利用したものである。
  3. ^ 日本ではピリオド(ドット)だが、国によってはコンマを使うところもある。
  4. ^ 2乗して偶数になる整数は偶数しかない。
  5. ^ しばしば誤解しやすいことであるが、このようにして作った数は素数になるとは限らない。たとえば2×3×5×7×11×13+1=59×509=30031である。
このページ「数と人間」は、書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。また、ご意見などがありましたら、お気軽にノートへどうぞ。