制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明

以上の準備の下に，Laplace 変換による解法の正しさを証明することができる． この章の初めに述べたことを，特性方程式を用いて簡単に復習しておこう．

特性方程式を，

$p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-2}s^{2}+a_{n-1}s+a_{n}$

とするとき，同次方程式

$p(D)x=0$

および非同次方程式

$p(D)x=f(t)$

を初期条件

$x(0)=\xi _{1},x'(0)=\xi _{2},x''(0)=\xi _{3},\cdots ,x^{(n-1)}(0)=\xi _{n}$

の下に解くという問題であった．

[定理 3.2]

(i) ${\frac {q(s)}{p(s)}}\sqsubset x_{0}(t)$ ならば $p(D)x_{0}=0$

(i) ${\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g(t)$ ならば $p(D)(g*f)=f$

ここに，$q(t)$ は高々 $n-1$ 次の任意の多項式である． $\diamondsuit$

これを示すことが目標である．一般に，

$p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\gamma _{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m_{j}}$

と因数分解できるから，補題3.2 を念頭におけば，定理 3.2 は，

$p(s)=(s-\alpha )^{l},$ および ${\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{l}$

の場合に証明すれば十分である．

${\frac {1}{(s-\alpha )^{l}}}\sqsubset {\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}e^{\alpha t}\Longrightarrow (D-\alpha )^{l}{\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}e^{\alpha t}=0$

は例67で示した．よって，定理は，

$p(s)={\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{l}$

の場合だけ示せばよい．ところで補題 3.3 に留意すれば，

$p(s)=(s^{2}+\beta ^{2})^{l}$

の場合だけを論ずればよいことが分かる．したがって，

${\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{l}}}\sqsubset \varphi _{l}(t)\Longrightarrow (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\varphi _{l}=0$

${\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{l}}}\sqsubset \phi _{l}(t)\Longrightarrow (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\phi _{l}=0$

を確めればよいことが分かる．ところが，これらは前章ですでに示されている． すなわち 式 (2.33) によれば，

$(D^{2}+\beta ^{2})\varphi _{l}=\varphi _{l-1},\quad \varphi _{1}(t)={\frac {1}{\beta }}\sin \beta t$

より直ちに，

$(D^{2}+\beta ^{2})^{l}\varphi _{l}=0$

が出る． また，

$\phi _{l}(t)=D\varphi _{l}(t)$

に注意すれば，

$(D^{2}+\beta ^{2})^{l}\phi _{l}=0$

も明らかである．以上で定理の (i) の部分が示された．

(ii) の部分は次のようにして示される．いま証明したことから，

${\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g(t)$

は $p(D)x=0$ の解である．しかも初期値は，

(3.11b)

$x(0)=x'(0)=x''(0)=\cdots =x^{(n-2)}(0)=0,\quad x^{(n-1)}(0)=1$

を満たす．この初期条件に留意しつつ $g*f$ に合成積の微分の公式を次々に適用すると，

$g*f=g*f$

$D(g*f)=(Dg)*f$

$D^{2}(g*f)=(D^{2}g)*f$

$\vdots$

$D^{n-1}(g*f)=(D^{n-1}g)*f$

および，

$D^{n}(g*f)=(D^{n}g)*f+f$

となり，上から順に $a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\cdots a_{2},a_{1},1$ を掛けて加えると，

$p(D)(g*f)=\{p(D)g\}*f+f=f$

を得る．

この証明からも分かる通り，$f(t)$ の Laplace 変換が存在しなくても $g*f$ は，

$p(D)x=f$

の解となる．たとえば，

${\frac {dx}{dt}}+x=e^{t^{2}},\quad x(0)=0$

において，$e^{t^{2}}$ の Laplace 変換は存在しないが，

$x(t)=e^{-t}*e^{t^{2}}=\int _{0}^{t}e^{-(t-\tau )}e^{\tau ^{2}}d\tau$

が解であることは明らかである．