出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
以上の準備の下に,Laplace 変換による解法の正しさを証明することができる.
この章の初めに述べたことを,特性方程式を用いて簡単に復習しておこう.
特性方程式を,
![{\displaystyle p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-2}s^{2}+a_{n-1}s+a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac12da220998ce8a99e2f2c840737055d54cc9d)
とするとき,同次方程式
![{\displaystyle p(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433eeedc9ee32edf3b41835536c6dc2682f3b382)
および非同次方程式
![{\displaystyle p(D)x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5e55744128a225a7db8c4ec2ac8cb5371797ac)
を初期条件
![{\displaystyle x(0)=\xi _{1},x'(0)=\xi _{2},x''(0)=\xi _{3},\cdots ,x^{(n-1)}(0)=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a392af36b57df280bb1c5dbcd352956dd042a380)
の下に解くという問題であった.
[定理 3.2]
(i)
![{\displaystyle {\frac {q(s)}{p(s)}}\sqsubset x_{0}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b9a83f4a86bcc31bf8ecec044024c56723eb51)
ならば
![{\displaystyle p(D)x_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c279a2a30e65f521585d5388c4524d252c87a4d2)
(i)
![{\displaystyle {\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950db848a7fea01daa32c9567e04b97d8ebd90db)
ならば
![{\displaystyle p(D)(g*f)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f92fd3d8656d6f01af9523ce0f5221372125d47)
ここに,
は高々
次の任意の多項式である.
これを示すことが目標である.一般に,
![{\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\gamma _{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858483f1e8b81a476a4ae08e9bdfc844184ee345)
と因数分解できるから[1],補題3.2 を念頭におけば,定理 3.2 は,
![{\displaystyle p(s)=(s-\alpha )^{l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ad437adfbbe356b95bd624e9d1eda553896254)
および
![{\displaystyle {\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a56e7230694ab54de3aa7dff2c1ee288597ff1)
の場合に証明すれば十分である[2].
![{\displaystyle {\frac {1}{(s-\alpha )^{l}}}\sqsubset {\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}e^{\alpha t}\Longrightarrow (D-\alpha )^{l}{\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}e^{\alpha t}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ace8fd5d666343395415a5477d3417ec7167d)
は例67で示した[3].よって,定理は,
![{\displaystyle p(s)={\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8540102db771d0de5a619ee3848628822232ace)
の場合だけ示せばよい.ところで補題 3.3 に留意すれば,
![{\displaystyle p(s)=(s^{2}+\beta ^{2})^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48e0f7da3a617255ac6bc9b11e7f8deb6ebc682)
の場合だけを論ずればよいことが分かる[4].したがって,
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{l}}}\sqsubset \varphi _{l}(t)\Longrightarrow (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\varphi _{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc49075aba633dcdeb5e2aed3eef62d3a7d3e35)
![{\displaystyle {\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{l}}}\sqsubset \phi _{l}(t)\Longrightarrow (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\phi _{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581f11095e9d2068c64667cf761dd80b123e10b7)
を確めればよいことが分かる.ところが,これらは前章ですでに示されている.
すなわち 式 (2.33) によれば,
![{\displaystyle (D^{2}+\beta ^{2})\varphi _{l}=\varphi _{l-1},\quad \varphi _{1}(t)={\frac {1}{\beta }}\sin \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbf91b07af95e8704c68b318830834e715384f5)
より直ちに,
![{\displaystyle (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\varphi _{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497d0774a1e919d632449a580836d5f9bff6a3e0)
が出る.[5]
また,
![{\displaystyle \phi _{l}(t)=D\varphi _{l}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93fa2a00e8b6413eb3688343a1781a03cea0ceb)
に注意すれば,
![{\displaystyle (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\phi _{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb15f46311570f6349329500b627b33c228cb200)
も明らかである.以上で定理の (i) の部分が示された.
(ii) の部分は次のようにして示される[6].いま証明したことから,
![{\displaystyle {\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950db848a7fea01daa32c9567e04b97d8ebd90db)
は
の解である[7].しかも初期値は,
(3.11b)
![{\displaystyle x(0)=x'(0)=x''(0)=\cdots =x^{(n-2)}(0)=0,\quad x^{(n-1)}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208e2ed7e826d50b4bc07caeafab6bc15db266ed)
を満たす[8].この初期条件に留意しつつ
に合成積の微分の公式を次々に適用すると,
![{\displaystyle g*f=g*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fab9763aa362947af0a930e4cb24404eee84d7)
![{\displaystyle D(g*f)=(Dg)*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70f22fe9462165105cfcb1783550cdc806a9627)
![{\displaystyle D^{2}(g*f)=(D^{2}g)*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de2f4ce5772560fb4d3f5fd938a1914f6098bfe)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle D^{n-1}(g*f)=(D^{n-1}g)*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fef8faf110e615c1b243f59fe18453829625b3)
および,
![{\displaystyle D^{n}(g*f)=(D^{n}g)*f+f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104115adeea0a31823e6d9db2f6e3bf9744c2832)
となり,上から順に
を掛けて加えると,
[9]
を得る.
この証明からも分かる通り,
の Laplace 変換が存在しなくても
は,
![{\displaystyle p(D)x=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9745ea6e6142ca18a44954ee4a1c52691fff04)
の解となる.たとえば,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+x=e^{t^{2}},\quad x(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcb8e3a4280efb36d45c2790129568afd98b4db)
において,
の Laplace 変換は存在しないが,
![{\displaystyle x(t)=e^{-t}*e^{t^{2}}=\int _{0}^{t}e^{-(t-\tau )}e^{\tau ^{2}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d379e98ed04dbc67ca0b06ba063693dcdc3bf55f)
が解であることは明らかである[10].
- ^
これは部分分数定理の注にて証明した.
- ^
にて
ならば
.よって
となる
があればよい. この節の証明方針を以下に整理すると,定理3.2(i) の
の分母
を因数分解したときに因数として
を持ち,したがって
の部分分数展開を第二分解定理まで実施した結果,項
を持つのであれば,この原像の
の次数が微分方程式の解
を構成する項の中で最高次数となり 式(2.17b)よりその次数は
.これに作用素
を働かせた結果が
になれば,証明全体の中のこの項
に関与する部分を完了させられる. 部分分数展開の結果,項として
を持つものについては後述される.
- ^
補題 3.3(ii) およびその系)
- ^
のとき,![{\displaystyle p(D-\alpha )e^{\alpha t}x=e^{\alpha t}p(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b860d3fe7f6e2eb096d8bf1c75ec4fce166ef086)
- ^
![{\displaystyle (D^{2}+\beta ^{2})^{l}\varphi _{l}=(D^{2}+\beta ^{2})^{l-1}\varphi _{l-1}=(D^{2}+\beta ^{2})^{l-2}\varphi _{l-2}=\cdots =(D^{2}+\beta ^{2})^{2}\varphi _{2}=(D^{2}+\beta ^{2})\varphi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1445159cfdafb16030cc8a61c210704201e4a41f)
![{\displaystyle =(D^{2}+\beta ^{2}){\frac {1}{\beta }}\sin \beta t=-\beta \sin \beta t+\beta \sin \beta t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a885e3ac0a779a2f2669599f34b3d4847e9e059d)
- ^
ここでの証明法は二階線形微分方程式の解法と同じ.
- ^
ならば
で,
の場合.
- ^
![{\displaystyle p(s)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-2}s^{2}+a_{n-1}s+a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac12da220998ce8a99e2f2c840737055d54cc9d)
で,
と
をおくと,
…①
一方,式 (2.1) ,したがって式 (2.11) より、
![{\displaystyle sG={\mathcal {L}}[g']+g(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13224728a8219cbfacc9054d421f0f8a666c493c)
![{\displaystyle s^{2}G={\mathcal {L}}[g'']+g(0)s+g'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8488b4e9f835af5ac76ef9bad626bd3f6e4cd5e9)
![{\displaystyle s^{3}G={\mathcal {L}}[g''']+g(0)s^{2}+g'(0)s+g''(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d240996c0232ac28d1150db8a5d3b4a54570515)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle s^{n-1}G={\mathcal {L}}[g^{(n-1)}]+g(0)s^{n-2}+g'(0)s^{n-3}+\cdots +g^{(n-2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5deb4cc6f466057fa1ecdeaa35f156e5a70ef6)
![{\displaystyle s^{n}G={\mathcal {L}}[g^{(n)}]+g(0)s^{n-1}+g'(0)s^{n-2}+\cdots +g^{(n-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609ef8461c4e981c5cacec374005bd501dab642f)
これらを①に代入して,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}{\bigg [}g^{(n)}+a_{1}g^{(n-1)}+a_{2}g^{(n-2)}+\cdots +a_{n-2}g''+a_{n-1}g'+a_{n}g{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6914bd9b2eb32978f7da14cce4bb580fbbbe33)
![{\displaystyle +g(0)s^{(n-1)}+\left\{g(0)+g'(0)\right\}s^{(n-2)}+\cdots +\left\{g(0)+g'(0)+g''(0)+\cdots +g^{(n-2)}\right\}s+g^{(n-1)}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc0af512b8a758f102126821a6b0020432b9cc1)
より
内は
となり,①より
の係数を比較して,
![{\displaystyle g(0)=g'(0)=g''(0)=\cdots =g^{(n-2)}(0)=0,\quad g^{(n-1)}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a6858c47e2c4492895c4551a7f90d0ed6be0d0)
- ^
![{\displaystyle \because p(D)g=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb5174d0f8af03746e408b14f6b2b8980efeb41)
- ^
この章の証明に Laplace 変換 が使われていない,というのは,Laplace 変換によって求めた原像
が微分方程式
の解であることを証明するのに Lapalce 変換を使っていない,ということである.ただ,非同次微分方程式の定常解
の
については,
は与えられた関数であり,「
に対応する Laplace 変換がなくとも
は解となる」という部分には Laplace 変換が使われていないことはいえる.初期値の与え方についても最終項を除いて
となるように初期値
,最終項は
と後から与えてよい.