高等学校数学C/式と曲線

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高等学校数学C > 式と曲線


本項は高等学校数学Cの式と曲線の解説です。

式と曲線[編集]

二次曲線[編集]

xとyなど2つの文字について高々2次までの式で与えられる曲線で、必ず 1つは2次の項がある式で与えられる曲線を 二次曲線(にじきょくせん)と呼ぶ。 二次曲線には放物線(ほうぶつせん)、楕円(だえん)、双曲線(そうきょくせん)がある。

放物線[編集]

で(aは定数)与えられる式を放物線(ほうぶつせん)と呼ぶ。 これは、投げ上げられたものが落ちてくるとき、 この軌道を描くことから、この名がついた。

放物線はある直線(準線)への距離とその直線上にない点(焦点)への距離とが等しい点の集合と定義される曲線である。焦点が、準線がのとき放物線は

と表すことができる。

導出

両辺を2乗して整理すると

となる。

同様に焦点が、準線がのとき放物線は

と表すことができる。

楕円と双曲線[編集]

楕円[編集]

楕円(だえん)とは、平面状にある2定点の距離の和が一定になるような点の集合からなる曲線である。基準となる2定点を焦点(しょうてん)という。楕円は代数的に

  (a, b は正の定数)

で表される。x軸との交点はとなって、y軸との交点はとなる。

のとき、は長軸の長さ(長径)、は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径であるx軸上にありその座標はとなる。

逆に、のとき、は長軸の長さ(長径)、は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径であるy軸上にありその座標はとなる。

2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が重なったときとなり、楕円は完全な円になる。

導出

2つの焦点をとし、2定点の距離の和をとすると、

両辺を2乗して整理すると

両辺を2乗して整理すると

ここでと置き換えると

両辺をで割ると

が導かれる。

同様に、2つの焦点をとし、2定点の距離の和をとし、とすると

が導かれる。


双曲線[編集]

双曲線(そうきょくせん)とは、平面状にある2定点からの距離の差が一定になるような点の集合からなる曲線である。基準となる2定点を焦点という。双曲線は代数的に


または (a,bは正の定数)

で表される。

双曲線がで表されるとき、焦点の座標はとなる。

逆に、双曲線がで表されるとき、焦点の座標はとなる。

媒介変数表示と極座標[編集]

曲線の媒介変数表示[編集]

曲線は x,yの2文字で表わされるが、

x = x(t), y = y(t)

の形で与えられることもある。 例えば、 x(t) = t, y(t) = t とすると、 x = y であり、これは原点を通り傾き1の直線となる。


この書き方では、 x(t),y(t)の選び方によっては, y = y(x) の形に書けない曲線も書き表せる ことがある。

例えば、 x = t - sin t, y = 1 - cos t としてみる。 これをサイクロイドと呼ぶ。

サイクロイド

極座標と極方程式[編集]

極座標[編集]

x, y の代わりにr, の形で与えられる式を使って 曲線を表わすと便利なことがある。 ただし、 であり、 でr, を定義する。 x = r cos , y = r sin に注意。

極方程式[編集]

の形で与えられる式を 極方程式(きょくほうていしき)と呼ぶ。

例えば、r = 1 は、半径1で、中心を原点とした円を表わす。 また、直線y = x は、

r sin = r cos より、

で与えられる。